極限の問題です

lim[x→1+0](log(x))*(log(x-1))を求めろという問題なのですが、ロピタルの定理を使って計算したところ、負の無限大となりました。
しかし、グラフ描画サイトでグラフを作ると0に収束していました。
なぜでしょうか、どなたかよろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• (log(x))*(log(x-1))=(log(x))/(1/(log(x-1)))として、分子と分母をそれぞれ1+0に近づけると両方とも0になったので、それぞれ微分しました。
  
  結果としてlim[x→1+0]((1-x)*((log(x-1))^2))/x となったのでこれを変形させて、lim[x→1+0](1/x)-(log(x-1))^2となるので、1+0に近づけると1-∞となったため答えは負の無限大、としました

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/12 18:36

• 

  すみません、、、x-1=e^tとおいたらlim[x→1+0]がlim[t→-∞]になりませんか・・・？
  私の勘違いでしょうか・・・
  e^tが0に近づくので、tは負の無限大に飛ばされるような・・・

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/12 19:11

No.6 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/12 21:15

log(x)=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-…(-1)^n*(x-1)^n/n+…

(log(x))*(log(x-1))
=(log(x-1))*[(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-…(-1)^n*(x-1)^n/n+…]
=(x-1)*(log(x-1))*[1-(x-1)/2+(x-1)^2/3-…(-1)^n*(x-1)^(n-1)/n+…] …①

(x-1)*(log(x-1))=(log(x-1))/(1/(x-1))
ロピタルの定理より、
1/((x-1)/(x-1)^2)=(x-1)→0 (x→1+0)

①式の[]内の第1項以外0になるから、結局0に収束する。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/13 00:06

とりあえず

((1-x)*((log(x-1))^2))/x
と
(1/x)-(log(x-1))^2
は違うよね.

この回答へのお礼

間違いを発見してから解けました（汗）
ありがとうございました

お礼日時：2016/02/13 17:44

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/12 20:46

(log(x))をx=1でテイラー展開してみると面白いかも

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/12 18:54

#3です。

書き間違えました。

lim[x→1+0](log(x))*(log(x-1))

x-1=e^tとおくと

lim[x→1+0](log(x))*(log(x-1))＝lim[t→+0](log(1+e^t))t=log2*0=0

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/12 18:52

lim[x→1+0](log(x))*(log(x-1))

x-1=e^tとおくと

lim[x→1+0](log(x))*(log(x-1))＝lim[t→+0](log(1+e^t))t=2*0=0

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/12 18:27

確認ですが, ロピタルの定理をどのように使ったんでしょうか?

No.1 回答者： h8v6r6v62nvha3wn 回答日時： 2016/02/12 18:20

x-1をtとして

x→1+0をt→0+0
xをt+1
にするのはどうでしょう？