断熱変化＆Poissonの法則についてわかりません。。。

状態A(p1,v1,t0)から状態B(p0,v2,t)まで断熱変化したとして、熱力学第一法則を用いて、
Poissonの法則 pv＾γ＝const. を導く方法がわかりません！
テストで出そうなので、勉強していたら壁にぶち当たりました！お願いします、誰か教えていただけないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： nabla 回答日時： 2004/07/07 17:36

編集中にミスってしまいました。

（なんて間抜けな…）
下のは気にしないでください。

状態が
圧力Ｐ体積Ｖ温度Ｔから
圧力Ｐ＋ΔＰ体積Ｖ＋ΔＶ温度Ｔ＋ΔＴに変化したとすると、（ただし変化は微小とします）
ＰＶ＝ｎＲＴ
(Ｐ＋ΔＰ)(Ｖ＋ΔＶ)＝ｎＲ(Ｔ＋ΔＴ)
となるので２つの方程式の差をとって、
ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝ｎＲΔＴ
となります。
これは断熱変化なので、
０＝ｎＣｖΔＴ＋ΔＷ
ですね。（Ｃｖは定積モル比熱）

ところで今は微小な変化を考えているのですから、その間の圧力変化を無視すると、
ΔＷ＝ＰΔＶです。
これを先ほどの式に代入してやると、
０＝ｎＣｖΔＴ＋ＰΔＶ
この式を整理すると
　　　　　　ＰΔＶ
ｎΔＴ＝－－－－　　（はじめの横棒はマイナスです）
　　　　　　　Ｃｖ
となり、この式をさらにはじめの式に代入して、
　　　　　　　　　　　　ＰΔＶ
ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝－Ｒ－－－
　　　　　　　　　　　　　Ｃｖ
両辺をＰＶで割って整理すると
　Ｃｖ＋Ｒ　　　ΔＶ　　　ΔＰ
－－－－×－－－＋－－－＝０
　　Ｃｖ　　　　　Ｖ　　　　Ｐ
となります。
またＣｐ＝Ｃｖ＋Ｒ
　　　Ｃｐ
γ＝－－－
　　　Ｃｖ
より、これらの値に置き換えてさらに両辺を積分してやると
　　　ｄＶ　　　　　　ｄＰ
γ∫－－－＋∫－－－＝ｃｏｎｓｔ
　　　　Ｖ　　　　　　Ｐ
よって
γｌｏｇＶ＋ｌｏｇＰ＝ｃｏｎｓｔ
さらに両辺の指数をとるとポアソンの法則が得られます。

この回答への補足

あと補足なんですが、
状態A(p1,v1,t0)から状態B(p0,v2,t)まで変化させた場合、 t＜t0 となる明確な理由もわかりません。
もしよければお願いできますか？何度も申し訳ありません。。。

補足日時：2004/07/07 18:00

この回答へのお礼

何度も修正ありがとうございます☆

お礼日時：2004/07/07 18:00

No.3 回答者： nabla 回答日時： 2004/07/07 18:55

補足で「t＜t0 となる」とおっしゃっているのは断熱膨張の時ですか？

以下断熱膨張と仮定します。

使う式は先ほど導いたばかりのポアソンの法則です。
Ｐ×Ｖ^{γ}＝ｃｏｎｓｔ
この式にＰＶ＝ｎＲＴを当てはめる事を考えます。
Ｐ×Ｖ^{γ}＝ＰＶ×Ｖ^{γ－１}
　　　　　＝ｎＲＴ×Ｖ^{γ－１}
ところがよくよく考えるとｎとＲは定数ですね。
（気体分子の出入りはないのでｎも変化しません）
よってＴ×Ｖ^{γ－１}＝ｃｏｎｓｔ
という法則も得られます。（こいつもポアソンの法則と呼びます）
それではこの変形したポアソンの法則を使ってみましょう。
ｔ０×ｖ１^{γ－１}＝ｔ×ｖ２^{γ－１}
ですね。（ただし断熱膨張なのでｖ１＜ｖ２です）
この式をちょっといじってやると、
　　　　　　　ｖ１
ｔ＝ｔ０×(－－－)^{γ－１}
　　　　　　　ｖ２
　　　　ｖ１
いま－－－＜１　　かつγー１＞０ですから
　　　　ｖ２
　　ｖ１
(－－－)^{γ－１}＜１です。
　　ｖ２
従ってｔ＜ｔ０となります。

断熱圧縮の場合はｖ１＞ｖ２とすればほぼ同様に議論できます。

この回答へのお礼

断熱膨張とも何も書いていませんでした。ですのでかなり迷ってしまいました。
けど、かなり参考になりました。ありがとうございます！

お礼日時：2004/07/07 19:09

No.1 回答者： nabla 回答日時： 2004/07/07 17:29

状態が

圧力Ｐ体積Ｖ温度Ｔから
圧力Ｐ＋ΔＰ体積Ｖ＋ΔＶ温度Ｔ＋ΔＴに変化したとすると、（ただし変化は微小とします）
ＰＶ＝ｎＲＴ
(Ｐ＋ΔＰ)(Ｖ＋ΔＶ)＝ｎＲ(Ｔ＋ΔＴ)
となるので２つの方程式の差をとって、
ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝ｎＲΔＴ
となります。
これは断熱変化なので、
０＝ｎＣｖΔＴ＋ΔＷ
ですね。（Ｃｖは定積モル比熱）

ところで今は微小な変化を考えているのですから、その間の圧力変化を無視すると、
ΔＷ＝ＰΔＶです。
これを先ほどの式に代入してやると、
０＝ｎＣｖΔＴ＋ＰΔＶ
この式を整理すると
　　　　　ＰΔＶ
ｎΔＴ＝－－－－
　　　　　　Ｃｖ
となり、この式をさらにはじめの式に代入して、
　　　　　　　　　　ＰΔＶ
ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝－Ｒ－－－
　　　　　　　　　　　Ｃｖ
両辺をＰＶで割って整理すると
Ｃｖ＋Ｒ　　　ΔＶ　　ΔＰ
－－－－×－－－＋－－＝０
　　Ｃｖ　　　　Ｖ　　Ｐ
となります。
またＣｐ＝Ｃｖ＋Ｒ
　　Ｃｐ
γ＝－－－
　　Ｃｖ
より、これらの値に置き換えてさらに両辺を積分してやると
　　ｄＶ　　　ｄＰ
γ∫－－－＋∫－－－＝ｃｏｎｓｔ
　　　Ｖ　　　　Ｐ
よって
γｌｏｇＶ＋ｌｏｇＰ＝ｃｏｎｓｔ
さらに両辺の指数をとるとポアソンの法則が得られます。

この回答へのお礼

なるほど！とてもわかりやすく説明していただいてありがとうございます！

お礼日時：2004/07/07 17:35