任意の角度において |複素電圧|=|複素電流|×|インピーダンス| は成り立つ？

添付図で表されるような交流回路について

質問①
『　任意の角度(ωt)において、
ﾄﾞｯﾄV=ﾄﾞｯﾄZ×ﾄﾞｯﾄI
が成り立つ　』
この考えは正しいでしょうか？
(注意)ﾄﾞｯﾄVなどのﾄﾞｯﾄとは大きさに位相を加味した複素電圧を表しています。

質問②
『　任意の角度(ωt)において、
|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|
が成り立つ　』
この考えは正しいでしょうか？

質問しておいてなんですが、質問①が正しいのはわかります、
しかし、質問②について、実効値において、|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|　が成り立つのは分かるのですが、「任意の角度ωtにおいて成り立つかどうか」今一つ釈然としなかった為質問しました。

教えてください。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  最後の方でおっしゃられている、
  
  >実部の大きさが"0"であっても、正弦波で変化する電流、電圧の複素電流、電圧の絶対値は変化せずに常に一定です。
  というのは、
  
  添付図の図２でいうところの、
  「ωtが虚軸と重なった時の事で、実部の値は0となるが、大きさはそのまま存在している。」
  という事ですね。
  
  大きさはそのままでくるくる回っているに過ぎないわけですね。
  この考えは合ってますでしょうか？

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/02 11:23

• >質問者さんの質問で、「実効値において～が成り立つのは分かるのですが、任意の角度ωtにおいて成り立つかどうか今一つ釈然としない」とありますが、これは全く論理的な疑問になっていません。「実効値」と「任意の角度ωt」とは全く関係のないものであることを理解されていますか？
  
  仰る通りでした。
  質問文を読み直すと、
  「特定のωtの値の時に実効値を取り、その時に限って、|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|　が成り立つ」といったような書き方でした。
  
  |ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|　に出てくる、|ﾄﾞｯﾄV|、|ﾄﾞｯﾄZ|、|ﾄﾞｯﾄI|　は実効値であり、ωtの値とは無関係でした。
  
  と思ったのですが、合ってますでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/02 11:37

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/03/01 11:44

質問①

『　任意の角度(ωt)において、
ﾄﾞｯﾄV=ﾄﾞｯﾄZ×ﾄﾞｯﾄI
が成り立つ　』
この考えは正しいでしょうか？
(注意)ﾄﾞｯﾄVなどのﾄﾞｯﾄとは大きさに位相を加味した複素電圧を表しています。

質問②
『　任意の角度(ωt)において、
|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|
が成り立つ　』
この考えは正しいでしょうか？

両方とも成り立ちます。
数学的に複素数α,βにおいて
|α*β|=|α|*|β|
です。ですので当然②の式も成り立つのです。

多分釈然としないところは、電流が"0"になるところでも電圧が"0"にならない、ということと矛盾するからではないでしょうか。

測定される電流、電圧の瞬間値はあくまで複素電流、電圧の実部となります。
実部の大きさが"0"であっても、正弦波で変化する電流、電圧の複素電流、電圧の絶対値は変化せずに常に一定です。

この回答へのお礼

>測定される電流、電圧の瞬間値はあくまで複素電流、電圧の実部となります。

とありますが、これは誤りのような気が致しました。
というのは、
複素電圧、複素電流の実部の最大値は、(瞬間値の最大値の最大値)/√2　であるからです。
となると、測定される電流、電圧の最大値は表示していないという事になります。

電気で使われる一般的な複素数表示は瞬間値の正弦関数を完全に再現していないように思います。

お礼日時：2016/03/02 12:28

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/03/02 14:11

#1のものです。

お礼と補足コメントに対して回答します。

まずはお礼の内容について
>複素電圧、複素電流の実部の最大値は、(瞬間値の最大値の最大値)/√2　であるからです。
となると、測定される電流、電圧の最大値は表示していないという事になります。

これは複素電圧、複素電流の記述の仕方の流儀によります。
実は、これらの複素数表示には二つの流儀が存在します。

1.複素数表示の絶対値を実効値とする流儀
2.複素数表示の絶対値を最大値とする流儀

2の流儀での絶対値は1の流儀での値の√2倍になります。
質問者の流儀は1.、私の#1での内容は2.に基づいています。
それぞれ、次のような長所(別の流儀の短所)を持ちます。

1(実効値派)：電力の計算が楽、絶対値がテスタで測定した値そのものになる。
2(最大値派)：瞬間値を計算で求めるのが楽、オシロスコープで測定したものがイメージしやすい

2.の流儀の場合、電圧・電流の瞬間値は複素電圧・複素電流の実部と一致します。


補足コメントについて
>添付図の図２でいうところの、
「ωtが虚軸と重なった時の事で、実部の値は0となるが、大きさはそのまま存在している。」
という事ですね。

大きさはそのままでくるくる回っているに過ぎないわけですね。
この考えは合ってますでしょうか

この考え方でOKです。
実部が瞬間値に比例(上記の2.の流儀だと一致)します。

回るのは電圧・電流だけで、インピーダンスは変化はしません。

この回答へのお礼

合ってましたか！良かったです。少し自信が持てました。

お礼日時：2016/03/02 15:32

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/01 12:57

「任意の角度(ωt)」というのは関係なくて、単純に任意の2つの複素数

　　X = A + jB
　　Y = C + jD
（Ａ～Ｄは実数）
において、
　　X * Y = (A + jB)*(C + jD)
　　　　　= AC - BD + j(BC + AD)
のときに
　　|X * Y| = √[ (AC - BD)^2 + (BC + AD)^2 ]
　　　　　　= √( A^2C^2 - 2ABCD + B^2D^2 + B^2C^2 + 2ABCD + A^2D^2 )
　　　　　　= √( A^2C^2 + B^2D^2 + B^2C^2 + A^2D^2 )

　　|X| = √(A^2 + B^2)
　　|Y| = √(C^2 + D^2)
より
　　|X|*|Y| = √(A^2 + B^2) * √(C^2 + D^2)
　　　　　　= √[ (A^2 + B^2) * (C^2 + D^2) ]
　　　　　　= √(A^2C^2 + B^2C^2 + A^2D^2 + B^2D^2)

以上より
　　|X * Y| = |X|*|Y|
になります。

質問者さんの質問で、「実効値において～が成り立つのは分かるのですが、任意の角度ωtにおいて成り立つかどうか今一つ釈然としない」とありますが、これは全く論理的な疑問になっていません。「実効値」と「任意の角度ωt」とは全く関係のないものであることを理解されていますか？

また、おそらく念頭にあるのは交流回路の「フェザー表記」のことかと思いますが、「任意の角度ωt」といった場合には周波数「2パイω」が異なるものを扱うことになります。同じコイル、コンデンサーでも、周波数が異なればインピーダンスが異なりますので、念のため。