大学 材料力学 はりの曲げ の問題

この問題の解き方が分かりません
よろしくお願いします．

長さlのはりの両端からそれぞれaの部分で単純支持されている.
両端に集中荷重Pを加えたときの中央のたわみyc を求めよ.ただし，はりの曲げ剛性をElとする.

答 . yc=- ( Pa(l-2a)^2 / 8EI )

No.1 回答者： kangaeru2 回答日時： 2016/04/21 16:21

At first, bending moments in each domains are followings.

0≦ｘ<a ;
M(x)=Px ,
a≦ｘ< l -a ;
M(x)=Px -P(x -a)=Pa .
l-a≦ｘ< l ;
M(x)=Pa+P{x-( l-a)}=P(x+2a-l) .

EIdy/dx=∫M(x)dx+C , as the definition of bending moment.

EIdy/dx=∫Padx+C1=Pax+C1 ,
where C1 is a constant.
dy/dx=0 at x=l/2, (therefore the system is synmetory.)
then
0=Pal/2+C１
C１=- Pal/2 .

EI∫dy=∫(Pax+C1)dx .
EIy=Pax^2/2+C1x+C2 .
= Pax^2/2 -Palx/2+C2 .
where C2 is a constant.

y=0 at x=a
then
0=Pa^3/2 -lPa^2/2+C2 ,
C2= Pla^2/2 - Pa^3/2

EIy= Pax^2/2+C1x+C2
= Pax^2/2- Palx/2+ Pla^2/2 - Pa^3/2 .

y=yc at x=l/2
EIyc=Pa(l/2)^2/2 - Pal^2/4+ Pla^2/2 - Pa^3/2
=Pal^2/8 - Pal^2/4+ Pla^2/2 - Pa^3/2
=(Pa/8)(l^2 -2l^2+4al -4a^2)
=-(Pa/8)(l^2-4al+4a^2) =-(Pa/8)(l-2a)^2= -Pa(l-2a)^2/8 .
yc=- ( Pa(l-2a)^2 / 8EI ) . //