この式でnp・r∧n-1のところを (n-1)p・r∧n-1に変えた場合 したの赤色の式はどう変形

この式でnp・r∧n-1のところを
(n-1)p・r∧n-1に変えた場合

したの赤色の式はどう変形しますか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/30 20:09

通常、第1項が p で、第2項以降に「項比 r 」がかかるので、第n項の等比部分が「r^(n - 1)」になります。

　np・r∧n-1 は、等比数列の「p・r∧(n-1)」に「第n項」のｎをかけたものです。
　質問者さんのいう「(n - 1)p・r∧(n-1)」だと、初項がゼロになってしまいますが、それでよろしいのですね？

　テキストに書いてあるのと同じようにやれば
　　Sn = 0 + pr + 2pr^2 + 3pr^3 + 4pr^4 + ････　+ (n-1)pr^(n-1)
　　rSn = 0　　　+ pr^2 + 2pr^3 + 3pr^4 + ････　+ (n-2)pr^(n-1) + (n-1)pr^n
となって
　　Sn - rSn = pr + pr^2 + pr^3 + pr^4 + ････　+ pr^(n-1) - (n-1)pr^n
　　　　　　 = pr[ 1 + r + r^2 + ･･･ + r^(n-2) ] - (n-1)pr^n
　　　　　　 = pr{ [ 1 - r^(n-1) ] / ( 1 - r ) } - (n-1)pr^n
よって
　　Sn = pr{ [ 1 - r^(n-1) ] / ( 1 - r )^2 } - (n-1)pr^n / ( 1 - r )
　　　 = { pr[ 1 - r^(n-1) ] - (n-1)p( 1 - r )r^n } / ( 1 - r )^2
　　　 = { pr - pr^n - (n - 1)pr^n + (n - 1)pr^(n + 1) } / ( 1 - r )^2
　　　 = { pr - npr^n + (n - 1)pr^(n + 1) } / ( 1 - r )^2
　　　 = p[ r - nr^n + (n - 1)r^(n + 1) ] / ( 1 - r )^2

かな？

　自分でやってみればよいでしょう？
　「赤色の式を変形」するのではなく、最初からやり直せばよいのです。