ベクトル？の問題です。 教科書の答えをそのまま写したので間違いはありません。 なぜ|A+B|はこの式

ベクトル？の問題です。
教科書の答えをそのまま写したので間違いはありません。
なぜ|A+B|はこの式で表されるのか教えてください。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/31 14:04

>教科書の答えをそのまま写したので間違いはありません。

いや間違ってますね。

|A+B|^2=(A+B)(A+B)=A^2+2A・B+B^2
=A^2+|A||B|cosθ+B^2

・はべクトルの内積、θはベクトルA、Bのなす角度

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/31 20:45

ベクトル →A, →B について

　|→A + →B|
がどうなるかを知りたいのであれば、
　→A + →B
がどういうものかを知らなければなりません。

図のような2次元ベクトルで、成分表示すれば
　→A = (Ax, Ay)
　→B = (Bx, By)
とすれば、
　→A + →B = ( Ax + Bx, Ay + By )
です。

これを使って、ベクトルの絶対値を求めれば
　|→A + →B| = √[ (Ax + Bx)^2 + (Ay + By)^2 ]
　　　　　　　= √(Ax^2 + 2Ax*Bx + Bx^2 + Ay^2 + 2Ay*By + By^2 )
　　　　　　　= √[ (Ax^2 + Ay^2) + (Bx^2 + By^2) + 2Ax*Bx + 2Ay*By ]
　　　　　　　= √[ |A|^2 + |B|^2 + 2(Ax*Bx + Ay*By) ] 　　　　　　　　　　　（１）

ここで、一般化のために（図では φ=0 ですが、 φ≠0 も含めて一般化します）
　Ax = |A|cosφ
　Ay = |A|sinφ
とすると、→A と →B のなす角が θ なので
　Bx = |B|cos(φ + θ)
　By = |B|sinθ(φ + θ)
となります。
これは、加法定理により
　Bx = |B|cos(φ + θ) = |B|(cosφ*cosθ - sinφ*sinθ)
　By = |B|sinθ(φ + θ) = |B|(sinφ*cosθ + cosφ*sinθ)
ですから
　Ax*Bx + Ay*By
= |A|*|B|(cos^2φ*cosθ - sinφ*cosφ*sinθ + sin^2φ*cosθ + sinφ*cosφ*sinθ)
= |A|*|B|(cos^2φ*cosθ + sin^2φ*cosθ)
= |A|*|B|cosθ*(cos^2φ + sin^2φ)
= |A|*|B|cosθ
　
これを（１）に代入して
　　|→A + →B| = √( |A|^2 + |B|^2 + 2|A|*|B|cosθ )