表面張力についての質問です。

”界面を単位面積だけ広げるのに必要とする仕事を表面張力という。いま、肺胞が内部に気体を含み、外部が水の球状の界面であると近似して考える事にする。
Q 一般に、表面張力を持つ曲面は、内部に向かう力を生ずる。そのために内部の気圧には余分な圧力がかかり、この圧力をPとする。半径ｒの肺胞の径をｄｒだけ大きくするのに必要な仕事を求めよ。ただし、ｄｒはｒに比べて微小であるとし、ｄｒの高次の項は無視してよく、この変化の途中でPは一定であるとする。”

以下、添付の写真が答えになっています。

質問は、球の面積の公式は ４πｒ＾３/3であったと記憶しているのですが、なぜ、答えでは分母に３がないのか疑問です。初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えていただければ助かります。

No.2 回答者： psa29 回答日時： 2016/08/21 16:15

答えが、ミスプリだと思います。

質問者様の考え方が正しいと思いますよ。
(r+dr)^3を展開してみましょう。
答えは、r^3+3r^2dr+3rdr^2+dr^3となります。
dr^2以上の高次の項は0と近似すれば、r^3+3r^2drとなります。
そこからr^3を引くので、プリントの〔　〕内の数値は
〔3r^2dr〕となります。
ミスプリの箇所は、4π/rの部分で、分母にあるrが間違い。
これが正しくは、3です。
よって、dV≒（4π/3）（3r^2dr）となり、3が約分されます。
dV≒4πr^2dr となり、プリントの答え自体は正しい。

結論、分母のrは、3と書かなければならなかったが、
ミスで3をrとプリントしてしまった。
しかし計算自体は、3で計算して正しい答えが書かれている。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2016/08/21 16:13

多分、誤植で分母のrは、3の間違いだと思いますよ。

実際に計算してみればわかります。
（r＋dr）＝r^3＋3r^2・dr＋3r・dr^2＋dr^3、drの2乗以上を無視すると、r^3＋3r^2・dr
ここから、r^3を引くと、3r^2・drとなります。
もし、分母がrだとしたら、3r・drとなり、右辺は12πrdrとなり、一致しません。
分母が3ならば、右辺は4πr^2drとなります。