下図の相似を証明するには？

△ABC∽△DCEはどのように証明できますでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  点AとＤを任意に決めて、垂線ABとDEを引きます。
  その頂点AからE、DからBへ線を引き、その交点Oより垂線を引き点Cを作り、
  ACとDCを結んで、△ABCと△DCEを作成した場合に、
  
  △ABC∽△DCE
  
  となることを、証明したいのです。

    補足日時：2016/11/01 07:40

No.6 ベストアンサー 回答者： motochans 回答日時： 2016/11/02 21:08

No.3です。

ご質問の件について。
AB/ED=AO/EO=BO/DO　・・・・・・③
ということですから当然
AB/ED=AO/EO　・・・・・・・・・・③’
それと
AO/EO=BC/EC　・・・・・・・・・・④
ということで　③’式のAO/EOと④式のAO/EOが同じですから
　AB/ED=BC/EC
ということになると思います。
私の反省として③式に余計な項[＝BO/DO]を書いたので混乱させたのだと思います。少し急いでいて雑な証明になってしまいました。証明の仕方をもっとシンプルで分かりやすくしたいと思います。すみませんでした。ということで再度証明を書きます。
[証明]
△OABと△OEDについて
AB⊥BC、DE⊥BCより同位角が等しいので
AB//DE
平行線の錯角は等しいので
∠OAB=∠OED　・・・・・・・①
∠OBA=∠ODE　・・・・・・・②
２組の内角がそれぞれ等しい三角形は相似であるので
　△OAB∽△OED
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AB/DE=AO/EO　・・・・・・③
同様にOC//ABより
△EOC∽△EABとなり対応する辺の比はすべて等しいので
EA/EO=EB/EC　・・・・・・④
ここで図より　EA=EO+OA　,　EB=EC+CB なので、④式は
（EO+AO)/EO=(EC+BC)/EC　であるから整理すると
AO/EO=BC/EC　・・・・・・・・・・⑤
③と⑤より　AB/DE＝BC/EC　・・・・・⑥
そこで△CABと△CDEについて
∠ABC=∠ＤＥＣ(=90゜）　　・・・・・⑦
及び⑥より対応する２組の辺の比がそれぞれ等しく、その間の角が等しいので
△CAB∽△CDE
[証明終わり]

この回答へのお礼

ありがとうございました。

とてもよく解りました。

お礼日時：2016/11/03 09:00

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/11/01 19:13

AB＝ａ、OC＝ｃ、DE＝ｄとする。

△AEB∽△OEC
AB：OC＝BE：CE
ａ：ｃ＝BE：CE・・・・・・①

△DBE∽△OBC
DE：OC＝EB：BC
ｄ：ｃ＝EB：BC・・・・・・②

①より、ｃBE＝ａCE
BE＝CE×ａ／ｃ
②より、ｃEB＝ｄBC
EB＝BC×ｄ／ｃ
∴CE×ａ／ｃ＝BC×ｄ／ｃ
両辺にｃをかけて、
CE×ａ＝BC×ｄ
両辺をａｄで割ると、
CE／ｄ＝BC／ａ

ここでBC＝ａｘとおくと、
CE／ｄ＝ａｘ／ａ
＝ｘ
∴CE＝ｄｘ

△ABCについて、
AB：BC＝ａ：ａｘ
＝１：ｘ
△DECについて、
DE：EC＝ｄ：ｄｘ
＝１：ｘ
一つの角を挟む二辺の比が同じなので、
△ABC∽△DEC

もしそれが成立するなら、ABの長さがDEと等しい場合でも成立するはず。
もしAB＝DEの場合、二辺と一角が等しいから、△ABE≡△DEBになる。
左右対称になるんで、当然△ABC∽△DCE。
このケースを元の図と比較してみると、どうもECが一切変化してなさそう。
なぁんてことをつらつら考えながら。
ただ、なんで解けたのかは不明。試行錯誤の結果としか。

答えが判ってから書き直すと、
△AEB∽△OEC
AB：OC＝BE：CE
OC×BE＝AB×CE・・・・・・①

△DBE∽△OBC
DE：OC＝EB：BC
OC×EB＝BC×DE
①より、
AB×CE＝BC×DE

△ABCについて直角を挟む辺の比を考え、AB：BC＝１：ｐとすると、(・・・・・・②)
BC＝ｐAB
AB×CE＝ｐAB×DE
CE＝ｐDE
△DECについて直角を挟む辺の比を見ると、
DE：EC＝DE：ｐDE
＝１：ｐ
＝AB：BC　(②より)
∴DE：EC＝AB：BC
一つの角を挟む二辺の比が同じなので、
△ABC∽△DEC

たぶんOCとBEが左右で共通になるんで、ここを上手く括り出してやれば良いんでしょう。
何で解けたのかは相変わらずさっぱり判りませんが。

No.4 回答者： motochans 回答日時： 2016/11/01 10:26

No3です。

追加です。⑤の後に∠ABC=∠ＤＥＣ(=90゜）として
相似条件を「対応する２組の辺とその間の角が等しい」に変更しておいてください。失礼しました。

No.3 回答者： motochans 回答日時： 2016/11/01 10:01

△OABと△OEDについて

AB⊥BC、DE⊥BCより同位角が等しいので
AB//DE
平行線の錯角は等しいので
∠OAB=∠OED　・・・・・・・①
∠OBA=∠ODE　・・・・・・・②
①②より２つの内角が等しいので　△OAB∽△OED
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AB/ED=AO/EO=BO/DO　・・・・・・③
同様にOC//ABより
△EOC∽△EABとなり対応する辺の比が等しいので
EA/EO=EB/EC　　
ここで図より
（EO+OA)/EO=(EC+CB)/EC　であるから整理すると
AO/EO=BC/EC　・・・・・・・・・・④
③と④より　AB/DE＝BC/EC　・・・・・⑤
すると△CABと△CDEにおいて対応する辺の比が等しくなるので
△CAB∽△CDE
証明終わり

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「③と④より　AB/DE＝BC/EC　」とありますが、
　AB/DE＝BC/EC　となぜいえるのでしょうか？

お礼日時：2016/11/01 23:57

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/01 09:57

△OAB と △OED が相似であることを使うともうちょっと簡単＞#1.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/01 09:19

典型的な相似の問題です。

△ABE∽△OCE
△DEB∽△OCB

なので、
　BC:CE＝a:b
とおくと
　AB:OC = (a + b):b
　DE:OC = (a + b):a
の関係から、
　AB/a = DE/b
つまり
　AB/BC = DE/EC
の関係であることが分かります。

「直角」をはさんだ2辺の比が等しいので、相似条件を満たします。
（2組の辺の比と、その辺がはさむ角が等しい）