元利均等返済の利息は複利ですか？

Question

元利均等返済の利息は複利ですか？

色々見たり聞いたりしてると複利という人と単利という人とどちらでもない人と大きく３つのに分かれます。

論点はいくつかあり、

1）「複利」は、「利子を次期の元金に組み入れる方式」全般を指す言葉で、元利均等返済も「複利」に含まれる。
つまり、「複利」方式の中に、「元利金等返済」や「元本均等返済」がみな含まれる。

2）「複利」は、1．の「利子を次期の元金に組み入れる方式」と下記の数式の両方を満たしたものになる。

 1期末の元利合計（元金と利子を合わせた額）は、次式になる。
元利合計 ＝ 元金＋元金×利率 ＝ 元金×(1＋利率)
2期目には、上の元利合計を新しい元金として、同様に利子がつく。
2期末の元利合計 ＝ 元利合計×(1＋利率) ＝ 元金×(1＋利率)×(1＋利率)
したがって、n 期末の元利合計は、次式になる。
n 期末の元利合計 ＝ 元金×(1＋利率)n

３）元利均等返済の利息は毎回（毎月）、月利を掛けているだけ、だから、単利になる。

4）利息には単利と複利の２種類があり
 ２）でないから、単利。または、
 元金に対する最終的な利息合計の割合が、単利でないから、複利。

５）単利でも、複利でもない。（新しい分類、分類不能）

例を出すと
1000万円の元金を年利3%、30年の元利均等返済で返すと

1ヶ月目の支払額は42,160円（元金分17,160円 利息分25,000円）
残債務は9,982,840円
２ヶ月目の支払額は42,160円（17,203円 24,957円）
 残債務は9,965,637円

３ヶ月目、４ヶ月目と続き、

総支払額は
15,177,552円（元金10,000,000円 利息5,177,552円）になります。
元金に対しての最終的な利息（合計）の割合は51%です。

単利だという人は毎月の利息を見ます。
複利だという人は元金に対しての最終的な利息の割合を見ます。

大分、整理しました。

皆さん、どう思われますか。

gootarohanako · Accepted Answer

>したがって、n 期末の元利合計は、次式になる。
n 期末の元利合計 ＝ 元金×(1＋利率)n

とありますが、最後の式は
n 期末の元利合計 ＝ 元金×(1＋利率)^n
ですね！つまり、nを掛けるのではなく、ｎ乗ですね！

質問に答えることになるかどうかわからないのですが、元利均等返済の基本的考え方を示しておきましょう。いま、ある資産に、ある期の期首にA（円）投資すると、以後粗収益Qが毎期（期末）に（T期間）発生するとする。このとき、この資産の収益率（リターン）rはいくらか？以下の方程式を解けばよい。

A = Q/(1+r) + Q/(1+r)^2 + ・・・ + Q/(1+r)^T

左辺はある期の期首におこなわれた投資額、右辺はこの投資の現在価値。この場合、AとQは与えられており、収益率ｒは未知数。しかし、この基本方程式はいろいろに使うことができる。
・いま、ある物件（たとえばワンルームマンション）があり、その物件を購入しようかどうかどうか考えているとする。市場金利ｒ、粗収益Q（物件を第３者に貸したときの毎期の家賃収入）はわかっているとすると、右辺、つまりその物件の割引現在価値は直ちに計算できるので、その額と物件の購入価格Aと比較し、右辺のほうが左辺より大きければ購入すればよい。あるいは、AとQが既値だから、収益率ｒを未知数としてこの式を解き、そのｒが市場金利（具体的には銀行からの融資を受けるときの金利）より大きければ、この物件は「買い得」なのでこの物件に投資すればよい。
・住宅ローンで個人にある金額Aを金利ｒで融資した銀行にとっても毎期の「元利均等返済額」を決定するためにこの式を用いることがきることはむろんです。返済期間Tが与えらるなら、融資した個人から毎期支払われる額（元利均等返済額）Qは上の式をQについて解けばよい。（もちろん、毎期の返済額Qを与えるなら、返済期間Tは上の式をTについて解けばよい。）銀行にとっては、Aは投資額、毎期の返済額Qは銀行の毎期の粗収益なのです。この基本式からわかるように、金利ｒは複利です。A,r,Tが与えられているとき、Qを求めることは等比級数の和の公式を使えるので、簡単です。

上の式の右辺
＝[Q/(1+r)][1 + 1/(1+r) + 1/(1+r)^2 +・・・+ 1/(1+r)^(T-1)]
=[Q/(1+r)][1- (1/(1+r))^T)]/(1-(1/(1+r)]
=(Q/r)[1- (1/(1+r))^T]

となるから、右辺＝左辺とおくと、

Q = Ar/[1- (1/(1+r))^T]

となる。
ところで、上の公式においてｒが年率金利、Tが年単位の返済期間ならば、この式を元利均等返済が月単位の公式として使うためには、ｑを毎月の返済額、iを月率金利、Nを月単位の返済期間（つまりN=12T)とするなら

q = Ai/[1-(1/(1+i))^N]

となることはいうまでもない。なお、iとｒとの間には

1+r = (1+i)^12

あるいは同じことだが

1+i = (1+r)^1/12

が成り立ち、ｒ（したがってi）が十分小さいなら

i = r/12

と近似しても誤差は小さいということはあなたの別の質問のところで述べた。

manno1966 · Answer

> 元利均等返済の利息は複利ですか？
契約の条文は、複利を可とする条文となっています。
なので、複利ですね。
3年くらい返済を停止したら、複利で利息が増えていることを実感出来るでしょう。

> 複利だという人は元金に対しての最終的な利息の割合を見ます。
自分(質問者)が主張しているだけです。
契約は複利を可とするものが一般的だから、複利と言っても間違いではない。
ただ、毎月返済している限り、利息以上に返済するから、実質は単利。

1000万円を年利3％で借りて、30年後に返済する場合。
単利だと1000万円×3％×30年と計算し、利息は900万円となります。
最終的な利息（合計）の割合は90%です。
(年3％×30年なので、こちらの計算でも出る)
これが単利の計算です。

もっと日本語の勉強をしっかりしないと、計算の矛盾の所まで行き着きませんよ。

manno1966 · Answer

> 契約の条文はどの文言のことですか？
「年利」という単語。
年利とか年率という単語は、基本的に複利での計算を意味します。

50年前の100歳以上の人数は1万人。
現在は10万人だから、年率1000％で増えているなんて言い方はしませんよね。

> 計算の矛盾の所が見えてるんですね？
計算の矛盾というか日本語の無理解というか。

単利で、1000万円を年利3％・30年で借りたら利息は30万円のはずで、元利金等返済はこの金額より多い金額の返済になるから複利の計算を行っているはず、少なくとも「単利でも、複利でもない。（新しい分類、分類不能）」な方式のはずだ。
などという勘違いの原因は、日本語の理解が出来ていないためで、その為に計算がどうこう言う次元の所まで話が行かない。それが現状です。
質問者が提示する年利の単利計算の可笑しさまで話を持っていくのは、とても無理であると思っています。

計算式の話をするなら、
① 1000万円を年利3.6％・一ヶ月借りた時の利息。
② 1000万円を年利3％・1年借りた時の利息。
③ 1000万円を年利3％・10年借りた時の利息。
④ 1000万円を年利3％・30年借りた時の利息。
の簡単な計算結果を提示して欲しいですね。
質問者の言う、単利の計算ですよ。

gootarohanako · Answer

>すみません。↓この数式がどうやったらでてくるか、わかりませんでした。
A = Q/(1+r) + Q/(1+r)^2 + ・・・ + Q/(1+r)^T

経済学・金融論の基本のキのような考え方ですので、よく理解してください。
毎期、期末にQの粗収益がT期間発生するとします。合計粗収益はいくらでしょうか？Q+Q+・・・＋Q＝TQでしょうか？いいえ、違います。１期目（末）のQと、たとえば、３期目のQとは同じ価値ではありません。たとえば、Q=１万円として、あなたにお小遣いとして１万円を今年あげるか、３年後にあげるかしたいが、あなたはどちらを選ぶかといわれたらどちらにしますか？そういわれれば、小学生の子供だって今年もらいたいというでしょう！今年の１万円と、３年後の１万円では価値が違うのです。いま市場金利が５％だとしましょう。今年の１万円は３年後には（市場金利５％で運用すると）１0,000×(1+0.05)^3 =11,576.25円 になるのです。逆に言うと、3年後の1,1576.25円が今年の1万円に等しいのです。
上の式を見てください。上の式の右辺は、１期末Q（円）、2期末同じくQ、・・・、T期末Qという粗収益の流列の、割引現在価値（1期目の期首で表わした価値）を表わしているのだ。つまり、１期末Q円という粗収益は1期の期首で測るとQ/(1+r)の価値であり、t期(t=1,2,・・・,T)末の粗収益Qの価値はQ/(1+r)^tなのだ（どうしてかわかりますよね！）。したがって、合計粗収益は1期の期首で測って上の式の右辺に等しいのだ。決して、T×Qなどと言ってはいけません！
したがって、いまA円を現在（ある期の期首）にある資産に投資すると毎期末にQ円、T期間にわたって粗収益を得ることがわかっているとしたら、その資産はA円を投資するに値するか、計算してみないといけない。T×QはAより大きいので投資するに値すると考えるのでしょうか？そうではありません、Qの流列を現時点の価値に直してA以上あるか知る必要があるのです。
NO2の回答で書いたように、この式はいろいろに利用できますので、NO2をもう一度よく読んでください。

＞↓これは多少疑問です。
ｒ（したがってi）が十分小さいなら
i = r/12

とコメントしていますが、どうしてでしょうか？あなたの別の質問のコメントの中で詳しく説明したつもりですが。。。
同じような、近似計算は経済学ではたくさん使われているのです。たとえば、名目GDPの成長率は物価（GDPデフレータ）の上昇率プラス実質GDPの成長率に等しいとか、実質金利は名目金利からインフレ率を差し引いた値に等しいとか、すべて上と同じ近似計算なのです。

manno1966 · Answer

> 言葉の定義から入ったらいいかもしれません。
そう思います。

一番気になっている事。
> 複利だという人は元金に対しての最終的な利息の割合を見ます。
という、「単利と複利」の定義。
1000万円を年利3％・30年借りた時の利息が30万円になるのが単利。
「最終的な利息の割合」だから、期間に無関係。
1000万円を年利3％・「1日」借りた時の利息が30万円になるのが単利
1000万円を年利3％・「1年」借りた時の利息が30万円になるのが単利
1000万円を年利3％・「10年」借りた時の利息が30万円になるのが単利
1000万円を年利3％・「30年」借りた時の利息が30万円になるのが単利
1000万円を年利3％・「100年」借りた時の利息が30万円になるのが単利
1000万円を年利3％・「300年」借りた時の利息が30万円になるのが単利
「利息が30万円」より多額になるのは「複利」又は「単利でも、複利でもない。（新しい分類、分類不能）」という定義になると言っているという事ですよね？

つまり、「単利」という言葉。
特に「最終的な利息の割合」で単利か複利かを定義して考えるという、一般的ではない特異な言葉の定義を質問者が使っている所に問題が有ると思うので、「年利・単利・複利」という単語の定義が必要でしょう。

出典：デジタル大辞泉
ねん‐り【年利】1年を単位として定められた利率。
たんりほう【単利法】 利息計算方法の一。前期間の利息を元金に繰り込まず、元金に対してだけ利息を計算する方法。
ふくりほう【複利法】 利息計算方法の一。一定期間の利息を元金に加え、その元利合計を次の期間の新元金として利息を計算する方法。

定義を見て判るとおり、年利は1年という「期間」に依存する。
だから、期間によって金額が変わり、金額が変わるということは「最終的な利息の割合」も変わると言うこと。
つまり、「最終的な利息（合計）の割合は51%です」となっている計算結果を元に単利ではないと主張する根拠が無くなると言うこと。

manno1966 · Answer

> 単利で年利は使わないと仰ったので
言ってない。
年利は、「基本的に複利での計算を意味します」と言いましたが。
だからと言って、年利という場合に、単利の計算をしてはいけないということはない。
年利の計算で、どの様な時に単利にするか複利にするかの条件は、民法に条件の記載が有る。
普通に返済をしている状態で複利の利息を取る事は民法により禁止され、どの様な場合に複利の利息になるかの条件も民法に規定されている。
その条件の規定に従って、年利による利息は、単利での計算も複利での計算も両方で使用される。

> 元金に対する最終的な利息総額の割合を一言で表す用語がないことです
「利子率:利息の元本に対する割合」という言葉に該当するかな。
「利子率＝利率＝年利」という意味で使われる事の方が多い単語ですが。
狭義では当てはまらないが、広義では当てはまる。
だから新しい単語として作られる理由が無かったと言うところかと。
自分で提唱して作ってみては。

> 資本回収係数について、コメントをください。複利運用とあります。
興味が無いから、リンク先は読んでいないし読むつもりも無い。

元利均等返済の利息は複利ですか？

> 元利均等返済の利息は複利ですか？

>したがって、n 期末の元利合計は、次式になる。

> 契約の条文はどの文言のことですか？

>すみません。

> 言葉の定義から入ったらいいかもしれません。

> 単利で年利は使わないと仰ったので

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング