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高校数学A 実力差があるトーナメントで実力３位のものが決勝に進出する場合の数についての質問です！

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質問者：azxdewazxdewa
質問日時：2017/03/28 18:11
回答数：2件

以下、４人でトーナメントを行う時、異なる組合せは３通りだと分かっているとします。
まず、８人でトーナメントを行う場合の異なる組合せの数え方は、以下のように行いました。
８人から４人のグループを作り、それぞれ４人のトーナメントを行うと考える。
すなわち、(８C４/2)＊３＊３＝３１５通り
この考え方で、次の問題を考えるとうまくいかなかったのですが、その理由を教えて下さい！
問題
８人でトーナメントを行う。８人の間には実力差があり、試合では常に実力上位のものが勝つと仮定する。このとき、実力第三位のものが決勝戦に進出する組合せ方式は、何通りあるか。
自分の考え方は次の通りです。８人をA~Hとおき、実力差をA>B>C＞、、、＞Hとします。
４人グループを作る際に、Cは必ずD~Hのうち３人とグループになるようにし、以下は先述の解法通りにします。
すなわち、（５C3/2）３＊３＝４５通り
ですが解答では９０通りになっていました。恐らく２で割ったところにもんだいがあるのですが、なぜ２で割ってはいけないか分かりませんでした。
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： yuji3690
回答日時：2017/03/28 20:52

8人から4人を選んだ場合を考えてみましょう。

先に選ばれた4人がトーナメント①、選ばれなかった4人がトーナメント②に出場とします。
トーナメント①にてA-B-C-Dが選ばれたとします。
トーナメント②は残ったE-F-G-Hですね。
トーナメント①にてE-F-G-Hが選ばれたとします。
トーナメント②は残ったA-B-C-Dですね。
さて、前者と後者は何か違うのでしょうか？
トーナメント①か②かの違いはあれ、組み合わせは同じですね。
なので重複分をカウントしないために÷２する必要があります。
（全ての組み合わせにおいて、トーナメント①に選ばれる組み合わせとトーナメント①に選ばれない組み合わせが重複するので）

一方、8人の中から3人の相手を選ぶ場合、
Cと同じグループにD-E-Fが選ばれたとします。
もう一方はA-BとG-Hですね。
さて、今回は先ほどと違って、Cと同じグループは3人、違うグループは2人（A-Bは固定なので除く）です。
同じ組み合わせになるわけがないので、2で割る必要はありませんね。