A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
現代の数学は大抵、形式主義を取っています。
すなわち、論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と、推論規則とを定めて、公理から推論規則で導ける論理式を定理と言います。そしてその定理全体の集まりを理論と呼んでいます。証明というのは、公理から出発して、推論規則を繰り返し適用し、定理を導き出す過程を書いたものです。(詳しくは下記URLをご参照下さい。)こういう基本的なルールをどう定めるのが良いか、ということを研究する分野を「数学基礎論」と言います。
従って、「完成された数学」とは、或る論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と推論規則を定めてあって、公理から推論規則で導ける論理式が全て網羅されている、ということでしょう。言い換えれば、どんな論理式を与えられても、それが定理であるか、定理でないかが必ず判定できる。さらに別の言い方をすると、論理式Aを入力すると定理であるかどうかを自動的に判定するようなプログラムが書ける。「完成された数学」とは、そういう体系のことでしょう。
ところが、クルト・ゲーデルは数学自身の性質を数学的に解析し、不完全性定理を発見しました。どういうことかと言うと
「自然数を扱うことが出来るような形式的体系においては、必ず、或る論理式Aが存在して、Aが定理であるか、定理でないかが、その体系の中では決定できない。」
つまり、公理と推論規則を使ってAを証明することも、Aの否定(¬A)を証明することもできない。
従って、「無限」を扱えるような体系(必然的に自然数も含まれることになります)は、「完成された数学」にはなり得ないんです。
かくて、検索すべきキーワードは「不完全性定理」「無限」「数学基礎論」「ゲーデル」「ヒルベルト」「形式主義」などなど。OK Web(教えてgoo)の中だけでも沢山ヒットがあると思いますよ。ただし不完全性定理については一知半解、オカルトやらいい加減な話も多いのでご注意。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=43691
No.2
- 回答日時:
stomachmanさんの回答を含め、大抵の数学者が、
数学、すなわち、形式主義
という立場を、あたりまえのように取っている、
という点を指摘しておきましょうか。
(stomachmanさんも、はじめに断っておられるように)
これに全幅の信頼を寄せると、
形式主義の限界、すなわち、数学の限界、ということになるわけです。(そして、その意味における、「完成された数学」の失敗)
じゃ、形式主義以外の、なにをもって、数学とするのか、
俺は、あんまり詳しくないので、どうしようにも答えられませんが、
そこらへんのことを、
stomachmanさんのような有識者に、
に突っ込んで聞いてみるのも、
「完成された数学とはどのようなものでしょうか?」
という質問の
解決のなんらかの糸口になるかもしれません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
合同式と倍数
-
中学2年図形の証明についての質...
-
modを使用した平方根の求め方
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
拡張ユークリッド互除法による...
-
宇沢の鞍点定理について
-
定理と法則の違い
-
「整数係数方程式の有理解の定...
-
ピタゴラス数について。
-
ロールの定理に関係する質問です。
-
量子化定理とは?
-
非正規形の微分方程式
-
http://www.math.sci.hiroshima...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
数学の中学生平面図形の証明が...
-
次の積分をお願いします。複素...
-
「ax+by=1を満たす整数x,yが存...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
数学が大好きな国の国旗のデザイン
-
数Aの図形の性質の3の問題につ...
-
パップスギュルダンの定理について
-
複素積分の
-
定理と法則の違い
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
実数の整列化について
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
コーシーの積分定理 複素積分
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
「整数係数方程式の有理解の定...
-
長さがマイナスの答えのとき、...
-
傘を買うと雨は止む。
おすすめ情報