半円周上を移動した時の力がする仕事
工学部機械科の一年生です。、
地表付近で重力がする仕事を考える。水平方向にx軸、鉛直方向にz軸をとる。z方向の基本ベクトルをe(z)とすると、質量mの質点に働く重力は
F=-mge(z)
で与えられる。この質点が点A(0,+a)から点B(0,-a)まで、3通りの経路C1、C2、を通って移動する時、重力がする仕事W1、W2、を求めよう。
ここで、C1は点Aから点Bまでz軸上を移動する経路、Cは点Aから点Bまで半径aの円周上を移動する経路である。
この問題でどの経路を通っても仕事は等しいというのはわかるのですが、W2を計算で求めたいです。
おそらくW2のような計算は高校物理ではなかったので、こういった問題を解けるようにしたいのでW2の求め方を教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
仕事の定義をしっかりと確認しましょう。
点s(x,y)→において働く力F(S)→が経路l (始点s0→,終点s1→)でする仕事Wは
W=∫_l(s0→→s1→) F(S)→・ds→
となります。
・はベクトルのスカラー積(内積),ds→はs→における経路lの接線方向の積分変数(線素)です。
全てはこの式から計算することになります。
この計算を行う場合、l上の点s→とds→を計算できるように表すことが必要となります。通常は適当な座標でs→を表しその座標要素で表現します。
今回の場合、座標として角度を使う方が良いでしょう。
O(0,0)から見た俯角θを座標として使いましょう。x軸よりも上なら正、下なら負の値を持つx軸となす角度をとります。
位置θの時の半径aの半円上の点sの座標はs(a*cosθ,a*sinθ)となります。
sをθで微分すると
ds→/dθ=(-a*sinθ,a*cosθ) これからds→=dθ(-a*sinθ,a*cosθ) と表せます。
これを定義の式に入れると
W=∫[θ:-π/2,π/2] F(S)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)=∫[θ:-π/2,π/2] -mge(z)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)
=∫[θ:-π/2,π/2] -amg*cosθ・dθ
となります。
このような積分(線積分)は使えるようになってください。
このようにして計算した仕事が経路によらないことを確認するにはさらにベクトル解析の知識が必要となります。
(ストークスの定理を使うと簡単に示せます)
No.4
- 回答日時:
線積分で計算するだけ。
ここでさらっと書くのは無理なので
多変数関数の微積分を普通に学んで
王道を進んで下さい。
高校の微積がちゃんと出来るなら、
覚えることはそれ程多くないです。
No.3
- 回答日時:
普通、鉛直方向はY軸をとるもんなんだけどなあ(´・ω・`)
他にも表現がいろいろとアレだけど置いといて…
・・・本題・・・
経路なんて関係ないぞ。
位置…すなわち高さの差だけがこの場合は効いてくる。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
スパン方向とはどの方向ですか?
-
質量m 半径aの一様な円環の慣性...
-
1つのばねで繋がれた2体問題
-
物理の万有引力の問題について...
-
もし60kgの人間が光速の90%で走...
-
物理なんですけど、変位=x座標...
-
高校物理:水平方向に打ち出す...
-
原点中心とする半径10cmの演習...
-
2物体の慣性モーメント
-
2つのバネに挟まれた物体の振動...
-
物理に限らないけどよく からみ...
-
円筒座標における熱伝導問題
-
運動方程式の時間反転
-
ブラックホール内部の時空とク...
-
量子力学 球面調和関数 導出 方...
-
地上から鉛直上方に投げられた...
-
連成振動(円周上につながれた...
-
鉛直面内での、円運動を考える...
-
段差を乗り越えるのに必要なト...
-
フレネル回折について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
スパン方向とはどの方向ですか?
-
高校物理基礎で、変位と位置の...
-
質量m 半径aの一様な円環の慣性...
-
表式ってなんですか?数学用語?
-
測量図の座標の出し方
-
径方向?放射方向?
-
原点中心とする半径10cmの演習...
-
2つのバネに挟まれた物体の振動...
-
段差を乗り越えるのに必要なト...
-
「陽に含まない」について
-
さらに・・4次元距離って?
-
鉛直面内での、円運動を考える...
-
ばね定数の異なる3つのバネと...
-
2物体の運動を重心系で考えると...
-
電磁気学、TEMモードでマクスウ...
-
SPEC 時間を止めて、銃で放たれ...
-
力学の問題です。(1)しかわかり...
-
円筒座標系でのナブラ、ラプラ...
-
大学物理の問題が助けてください><
-
有限要素法の形状関数とは?
おすすめ情報