数学 極限値

画像の問題の解き方を教えて下さい

質問者からの補足コメント

• どのように考えるんですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/12 01:37

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/12 16:19

t=2x とおくと、 x→0 なら t→0 なので、log(1+2x)/x=2・log(1+t)/t →2・1=2

(マクローリン展開で、log(1＋x)の近似値は、x なので、x/x=1に近づくので、！)また、

log(e)1=0 なので、lim｛t→0｝2・｛log(1+t)ーlog1｝/t より
微分係数の定義より 2・以降は 1に収束するから、全体として、2に収束するが、正式には

まず、
lim【x→0】(1+x)^1/x=e を証明すれば両辺の対数を取ることで示されます。 …(1)

これは、e の定義からほぼ明らかですが，
きちんと証明するには，
A：limx→∞(1+1/x)^x=e
B：limx→−∞(1+1x)^x=e
の両方を言う必要があります。

・Aの証明
(1+1/x)^x が単調増加であることから（→数3の自然対数の底に収束することの証明で習った！）
自然数 nをうまく持ってきて，
(1+1/n)^n<(1+1/x)^x<(1+1/(n+1))^(n+1)
とできるので e の定義とハサミ打ちの原理よりOK

・Bの証明(Aが使える形に強引に変形していくだけ)
lim【x→−∞】(1+1/x)^x=lim【x→∞】(1−1/x)^(−x)=lim【x→∞】(x/(x−1))^x=lim【x→∞】(1+1/(x−1))^(x−1)・(1+1/(x−1))=e
となり、前項は、定義より e に近づき、後項は、1+1/∞ → より全体とし e に近づくので、(1)より、最終的には、2に近づく！

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2017/06/12 11:56

まずは分子と分母にそれぞれx=0を代入してみる。

これだけで解決する問題も現実には多いのだが、この場合、分子と分母どっちも0になっちゃうから、まず腕まくりをする。
分子と分母が0に近づくときの「速さ」が互いに比例関係になっていれば、何らか有限の値が出る。そこで分子と分母をそれぞれxで微分してみるというのがひとつの常套手段で、この問題はこれで解決する。もちろん、log(1+2x)のマクローリン展開がすらすら思い出せるとか、あるいは「|p|<<1ならlog(1+p)≒pだ」ということを知っていれば、計算する必要もないのだが。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/06/12 03:37

t=1/2x

とおくと
x→0 のとき t→∞
lim[x→0]{log(1+2x)}/x
=lim[t→∞]2log(1+1/t)^t
=2log e
=2 //

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/12 00:51

2 を分子と分母に掛けると 2 とわかる.