log(x)y+3log(y)x≧4を満たす点(x,y)

不等式log(x)y+3log(y)x≧4を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
図示の手前まで教えていただけないでしょうか？()の中は底です

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/10/21 22:11

まず、真数条件などより、0<x<1、1<x、0<y<1、1<y

log(x)y+3log(y)x≧4
log(x)y+3/log(x)y≧4　←　∵log(y)x = 1/log(x)y

log(x)y=tとおくと、
t+3/t≧4
両辺にt²を掛けて（tではなくt²を掛けるのは、t<0の場合に不等号の向きが変わり、そのための場合分けをするのが面倒だから←このテクニックは、他の不等式問題にも使えます）
t³+3t≧4t²
t³-4t²+3t≧0
t(t-1)(t-3)≧0
∴0≦t≦1、3≦t　←　tの3次関数のグラフを考えて下さい。

よって、0≦log(x)y≦1、3≦log(x)y

1つめの不等式を考えると、
0<x<1のとき、1≧y≧x　①
1<xのとき、1≦y≦x　②

2つめの不等式を考えると、
0<x<1のとき、x³≧y　③
1<xのとき、x³≦y　④

①〜④をグラフとして描けばいい。
（注：0<x<1、1<x、0<y<1、1<yに注意）

この回答へのお礼

迅速でわかりやすい回答、ありがとうございます！

お礼日時：2017/10/21 22:42