対数・指数の値の大小

対数表を用いないで、ｌｏｇ(２)３の値を小数第２位以下を切り捨てて、小数第１位まで求めよ。ｌｏｇ(２)３＝ａと置いてみたのですがココからどうしたらいいのか分かりません。

簡単な事を質問しているかと思いますが、教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/05/05 21:20

ちょっとだけ面倒です。

２を何乗かしたものと３を何乗かしたもので比べます。

たとえば
２＾３＝８
３＾２＝９
これ値が近いですよね。

２＾３＜３＾２
両辺の底が２の対数をとります。不等号は変わりません。
log[2]２＾３＜log[2]３＾２
３＜２log[2]３
２で割って
1.5＜log[2]３
これで1.5よりは大きいことが分かりました。

できるだけ近い値を探すと正確な近似値が得られます。
今度は上の方を押さえましょう。

たとえば　３＾２＜２＾４
これは値があまり近くないので大雑把にしか出ません。
それなら
３＾３＜２＾５　のほうが近い値が出るでしょう。

先のと同じように底を２の対数を作って見てください。

３log[2]３＜５
log[2]３＜5/3＝1.53・・・
これで1.5より大きく1.53・・より小さいことが分かりましたから
小数第１位までなら1.5ということです。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2003/05/05 21:08

(1)　　log(2)3 = a

とおきます．もちろん，これは
(2)　　3 = 2^a
と同じことです．
2^1 = 2，2^2 = 4 ですから，
(3)　　1 < a < 2
はわかりました．

同様の方針でもう１桁精密に考えてみます．
(2)の両辺を10乗して
(4)　　3^(10) = (2^a)^(10) = 2^(10a)
になります．
したがって，2^n を順番に調べて，
3^(10) が 2^n と 2(n+1) の間に入るような n を見つければよいわけです．
そうすれば
(5)　　n < 10a < n+1　　⇔　　n/10 < a < (n+1)/10
で，求めるものが得られます．

具体的計算はお任せします．