数学 √10800/mが整数となるような自然数mは、全部で何個か。 詳しくお願いします。

数学
√10800/mが整数となるような自然数mは、全部で何個か。
詳しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/14 02:53

√10800/mが整数となるということは、

10800/mが、ある自然数の二乗になること。

まずは10800を因数分解しておく。
10800=2×2×3×3×3×10×10
=2×2×2×2×3×3×3×5×5
=3×(2^2)×(2^2)×(3^2)×(5^2)

ここからわかることは、
mの因数に、少なくとも3が一つ含まれている必要がある。
またそれ以外の因数を含む場合は、
括弧でくくったように二乗ごと含む必要がある。

含むか含まないかで考えた場合
(2^2)は二つあるので、
含まない場合、1つ含む場合、2つ含む場合　の3通り
(3^2)は含む場合と含まない場合で　2通り
(5^2)も含む場合と含まない場合で　2通り

よって条件を満たすような個数は、これらの掛け合せの
3×2×2=12通り
と考えられる。



確認のためすべてを書き出してみる。
f(m)=√10800/m　とすると、

m=3　、f(3)=√3600=60
m=3×(3^2)=27　、f(27)=√400=20
m=3×(5^2)=75　、f(75)=√144=12
m=3×(3^2)×(5^2)=675　、f(675)=√16=4
m=3×(2^2)=12　、f(12)=√900=30
m=3×(2^2)×(3^2)=108　、f(108)=√100=10
m=3×(2^2)×(5^2)=300　、f(300)=√36=6
m=3×(2^2)×(3^2)×(5^2)=2700　、f(2700)=√4=2
m=3×(2^4)=48　、f(48)=√225=15
m=3×(2^4)×(3^2)=432　、f(432)=√25=5
m=3×(2^4)×(5^2)=1200　、f(1200)=√9=3
m=3×(2^4)×(3^2)×(5^2)=10800　、f(10800)=√1=1

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/07/18 15:01

No.1 回答者： asano_nagi 回答日時： 2017/07/14 00:23

10800を素因数分解します。

各因数の指数をすべて偶数にするようにmを決めれば良いです。
m=10800も忘れずに（すべての因数の指数が0という偶数）

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/07/14 01:48