複素数の問題です！(2)がわからないので教えてください！ 実数を係数とする三次方程式x^3+px^2

複素数の問題です！(2)がわからないので教えてください！
実数を係数とする三次方程式x^3+px^2+qx+r=0は、相異なる虚数解α,βと実数解γをもつとする。

(1)β=a￣が成り立つことを証明せよ。ここで、αはα￣と共役な複素数を表す。

(2)α,β,γが等式αβ+βγ+γα=3を満たし、更に複素数平面上でα,β,γを表す3点は1辺の長さが√3の正三角形をなすものとする。このとき、実数の組(p,q,r)をすべて求めよ。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/10/12 09:12

複素平面上でα,βを表す点は(1)により実軸に対して対称な位置にあります。

その2点間の距離は
|α-β|=|2Im(α)|
であることから
Im(α)=±√3/2
であることがわかります。この場合、Im(α)<0であったとしてもαとβを入れ替えることでIm(α)>0とできるため
Im(α)=-Im(β)=√3/2
であるとできます。

次に、γとRe(α)の関係を考えましょう。
α,β,γの表す3点が正三角形でありα,βは実軸に対して対称、さらにγは実軸上にあります。この場合、|γ-Re(α)|はこの正三角形の高さになることがわかります。
正三角形の高さは一辺の長さの√3/2倍ですから
|γ-Re(α)|=√3*√3/2=3/2
となります。
γ-Re(α)=±3/2
Re(α)=γ±3/2
となります。

つまりα,βはγを使い
(α,β)=(γ±3/2+(√3/2)i,γ±3/2-(√3/2)i) (複合同順)
と表せます。

この式をαβ+βγ+γα=3に代入するとγに関する2次方程式が得られます。これを解き、解と係数の関係からp,q,rが得られるでしょう。