反転ってより次元の高い空間の回転では、表されませんか？

Question

例えば、３次元空間中のｘ－ｙ平面（曲面は３次元なので含まない）は
裏返す＝３次元空間内で　ｘ軸をｚ－ｘ平面に沿って180°回転させれば、「反転」
また、４次元空間中のｘ－ｙーｚ立体（ｗ方向に曲がったものは含まない）は
ｙ－ｚ平面に鏡をおく＝ｘ軸をｗ－ｘ平面に沿って180°回転させれば、「反転」
と思うのですが？
誤りでしょうか。

stega · Accepted Answer

その常識は、ひっくり返りません。
右左もかわりません。

結論には前提があるので、
それが何かを考えるほうが、貴方には大事なようにおもいます。

stega · Answer

yz平面を軸にするので、『w-x平面に沿って』という貴方のイメージはあながちまちがってなさそうです。

stega · Answer

最初の質問の意味として、立体の鏡像が4次元空間中の回転を含む操作として表現できるかという趣旨のものと判断して、回答します。

結論
 できそうです。
 
詳細
 はじめに、回転(剛体回転)とは、回転軸との距離がかわらない操作のことをいいます。

以下は、行列による回転操作の知識があるものとして説明します。
R4で定義される次の行列Aは、4次元でyz平面を回転軸とする剛体回転作用素を表します。軸の順はxyzwとします。
A=
cos(θ)   0     0    -sin(θ)
     0       1     0      0
     0       0     1      0
 sin(θ)  0      0    cos(θ)

この操作が剛体回転であることは、回転軸であるyz平面からの距離がすべての4次元上の点について、操作後も変化しないことを示せばわかります。
つまり任意の点
p∈R4
と、yz平面上の任意の点q∈{R4|x=0,w=0}
について
|A(p-q)|=|p-q|
です。
これはちょっと面倒なので証明は省きますが、
回転軸であるyz平面上の任意の点が、操作Aで変化しないというのは簡単にわかります。
つまり回転軸であるyz平面上の点q=(0,y,z,0)にAを作用させてもqのままということです。つまり
Aq=q
です。実際にやってみれば、すぐにわかります。
以上から、4次元での剛体回転は回転軸として、平面を取れるということがわかりました。
3次元では回転軸は線でしかなかったので、面が回転軸になりうるというのは、イメージがしづらいです。

本題です。
まずθを180°として、Aを書き直してください。
次に、3次元上の点(x,y,z)に、それと独立な(直行する)任意のwを要素に加えて(x,y,z,w)とし、これにAを作用させてから3次元への写像をとると(-x,y,z)となるはずです。

stega · Answer

なんとなくイメージしていることがわかりました。

『R2∈(x,y)→(-x,y)が、R3へ写してから180°の回転をして2Dへの写像という操作に分解できるのであれば、R3∈(x,y,z)→(-x,y,z)は、R4へ写してから、180°相当の回転をしてR3へもどす という操作に分解して表現できるはずではないか』

ということですか？
え！？そんなことしなくても！っていうのが正直な感想ですが、そういった種類の興味が数学を発展させてきたんでしょうね。

ちょっとだけ考えてみます。

tknakamuri · Answer

>ｘ軸をｚ－ｘ平面に沿って180°回転させれば

>「ｘを　ｙの値のｚ－ｘ平面に沿って180°回転させる
>という意味です。

何度読んでも意味不明だけど、そもそも平面に沿って回転て何？

回転は軸や点を中心に行なうのでは？

stega · Answer

反転操作の質問なのか、
回転の操作の質問なのか
わからなくなりました。

stega · Answer

ちなみに
4次元の回転は
平面を軸として回転するらしいです。
回転とは軸との距離がかわらない操作のことなので、
4次元の回転では回転前後で、任意の点と、軸となる面との距離が不変なのだそうです。
数学的なイメージは、わからなくはないですが、絵的なイメージは、私にはちょっと無理でした。

stega · Answer

反転の操作を整理してみました。
1次元
・ある値から引く
2次元
・点からのベクトルをその点から引く
・線上の最近接点からのベクトルをその最近接点から引く
3次元
・点からのベクトルをその点から引く
・線上の最近接点からのベクトルをその最近接点から引く
・面上の最近接点からのベクトルをその最近接点から引く

多分4次元では4種類あるんではないかと、
その4つ目は、多分
・立体中の最近接点からのベクトルをその最近接点からひく。
ではないかなとおもいます。

あと、180度回転させるのは、結果が点対象と同じなので反転の一種と区別はつかないのですが、反転と、回転は概念が違うので、
180度回転させたら反転だというふうに考えると、間違いやすそうです。

Tacosan · Answer

「ｘ軸をｚ－ｘ平面に沿って180°回転」というのがどのような操作なのかわからん.

まあいずれにしても右手系は回転しても右手系だけど反転すると左手系なんだよな.

反転ってより次元の高い空間の回転では、表されませんか？

その常識は、ひっくり返りません。

yz平面を軸にするので、『w-x平面に沿って』という貴方のイメージはあながちまちがってなさそうです。

最初の質問の意味として、立体の鏡像が4次元空間中の回転を含む操作として表現できるかという趣旨のものと判断して、回答します。

なんとなくイメージしていることがわかりました。

>ｘ軸をｚ－ｘ平面に沿って180°回転させれば

反転操作の質問なのか、

ちなみに

反転の操作を整理してみました。

「ｘ軸をｚ－ｘ平面に沿って180°回転」というのがどのような操作なのかわからん.

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