球を通った平行光線が球の反対側の１点に集まった場合の球の材質の屈折率の求め方

以下の様に屈折率１の媒質中に置かれた球に細い平行光線を球の中心に向けて入射したところ、光線は入射点と反対側の球の表面の１点に集まった。この球の材料の屈折率はいくらか。
ただし、入射光線の太さは球の大きさに比べて十分小さいものとする。

が問題です。答えは２だそうです。

以下自分が途中まで解いてみたのですが、行き詰まってしまいました。
分かる方ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  回答有難うございます。
  確かにθ２が微細であれば、cosθ2≒1と見做せます。
  であれば、n2=2cosθ2≒2×1＝2となります。
  
  自分が条件を読み間違えていたのかも知れません。
  と言うより条件を理解していなかったのかも知れません。
  「細い平行な線を球の中心に向けて入射」なので、便宜的に書いているθ1は実は殆ど90°近くなのかも知れません。理解が不十分でした。
  
  出題分をそのまま添付すると以下の通りです。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/12/31 14:55

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/04 21:29

#1です。

補足を見ました。
うーん、この図じゃ確かにθ1≒90°には見えないな。
これは問題が悪い。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/12/31 09:42

次の条件が何を意味するのか。

>入射光線の太さは球の大きさに比べて十分小さいものとする

質問者の書いている図だと光線の太さは球の大きさの7割以上はありそうですね。
問題にある上記の条件は光線の太さが十分小さい、たとえば光線の太さが球の直径の1/10とか1/100の大きさなのです。
このときθ2の大きさはどうなるでしょうか。
球の半径をrとすると光線の太さdは
d=2*r*sinθ2
となります。
このことから
sinθ2=d/(2r)
となります。これから
cosθ2=√(1-(d/(2r))^2)
となりますがd<<rであるためこれはほとんど"1"と見てよい。