ある工場で生産されている製品の不良率は従来から5%であることがわかっている。今日の生産品から無作為に

ある工場で生産されている製品の不良率は従来から5%であることがわかっている。今日の生産品から無作為に1900個選んで検査したら133個が不良品だった。今日の製造品の不良率は上昇したと判断して良いか。有意水準1%で片側検定せよ。

この問題の答えがわかりません。 基礎統計の問題です！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/09 23:03

不良率が 5% と分かっているのであれば、ｎ個取り出したときに r 個が不良である確率は「二項分布」に従い、確率関数は

　P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)
です。

サンプル個数が多ければ、分布は正規分布で近似できて、
・不良個数の期待値：E=np
・不良個数の分散：V=np(1 - p)
になります。

n=1900 なら
　E = 1900 * 0.05 = 95
　V = 1900 * 0.05 * 0.95 = 90.25
よって標準偏差は
　σ = √V = 9.5

つまり、1900個とりだした時の不良個数は、N(95, 90.25) の正規分布に従うと考えてよいです。
不良品が 133個ということは、平均値（期待値）からの偏差は
　133 - 95 = 38
であり、これが標準偏差いくつ分かといえば
　38/9.5 = 4
つまり、133個は
　平均値 + 4σ
ということです。

正規分布の特性から、
・平均値 ± σ の範囲内に 68.3% が存在する
・平均値 ± 2σ の範囲内に 95.4% が存在する
・平均値 ± 3σ の範囲内に 99.7% が存在する
ということが言えます。(下記参照)
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

上は「両側確率」の場合なので、片側確率なら
・平均値 + 4σ 以上の範囲内に 0.003% が存在する
ということになります。

つまり、「不良品 133個」という事態は、0.003％の確率でしか起こりえない、ということです。
なので「有意水準 1%」で「不良率 5% の母集団から採ってきたものではない」と判断できます。

「今日の製造品の不良率は上昇した」のかどうかは分かりませんが、「いつもの不良率ではない」ということです。