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「製品の10%の不良品」なので、400個の標本の中の不良品の「期待値」(不良品の出現する平均値)は
400 * 0.1 = 40 個
です。しかし、必ず40個というわけではなく、40個を中心に「何らかの分布」をするということです。
どういう分布かといえば、良品である確率 0.9、不良品である確率 0.1 の「二項分布」をします。
つまり、400個のうち、k個が不良品である確率は
P(k) = 400Ck * (0.9)^(400 - k) * (0.1)^k
ということになります。
二項分布における不良品の期待値、分散は
E = 400 * 0.1 = 40
N = 400 * 0.1 * 0.9 = 36
です。
標準偏差は「分散」の平方根なので
標準偏差 σ=√36 = 6
詳細は、こんなサイトを参考に。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85 …
二項分布は、サンプル数が大きければ「正規分布」に近づきます。「標本の大きさは十分大きいとみなしてよい」ということは、つまり「正規分布」とみなしてよいということです。
「正規分布」の特性は、テキストには必ず書いてあります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …
標準偏差を「σ」として、
期待値(平均値)± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
期待値(平均値)±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
期待値(平均値)±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
あるいは「有意水準=危険率(←→信頼度)」を基準にして
期待値(平均値)± 1.65σ の範囲内に、全体のデータの 90.0% が入る
期待値(平均値)± 1.96σ の範囲内に、全体のデータの 95.0% が入る
期待値(平均値)± 2.57σ の範囲内に、全体のデータの 99.0% が入る
ということです。
(1)不良品が50個以上ということは、期待値=40 ですから
(50 - 40)/σ = 10/6 ≒ 1.67
つまり、
期待値(平均値)+ 1.67σ
ということです。これはつまり、上に書いた ± 1.65σ とほぼ等しいので
40 ± 1.67σ
範囲に全体の約 90% が入るということです。ということは、これを外れた範囲には
40 + 1.67σ = 50個 以上の範囲に 5%
40 - 1.67σ = 30個 以下の範囲に 5%
の合計10%が存在します。
従って、50個以上不良品が含まれる確率は「約 5%」です。
(2)これも、(1)に書いたのと同じですね。
c = 10個
です。
標準偏差 6 に対して 1.65σ = 9.9 ≒ 10 ということです。
二項分布まではたどり着けていたのですが、正規分布と近似に思い至りませんでした。
とてもわかりやすい解説ありがとうございましたm(_ _)m
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