算数の図形問題を教えてください

Q.
１辺の長さが10cmの正方形のまわりに図のような合同な三角形を４つ加えて
新しい正方形を作りました。新しい正方形の面積は、もとの正方形の何倍ですか？

A.
1.5倍

解き方がわからないのですが教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： zongai 回答日時： 2018/01/31 18:18

うわぁ、本当に中学校受験問題なんですね！

恥ずかしさと悔しさで、参考になると思われる情報を見つけてきました。

高校生が解けない！？中学入試直角三角形の面積 | サクラさく受験部４７
http://sakusaku47.info/archives/364.html

質問で投稿されていたものだと、
斜辺10cmで75°の角を持つ直角三角形の面積を計算するようですが、
上記のサイトでは
斜辺2cmで15°の角を持つ直角三角形の面積となっています。
斜辺2cmで75°の角を持つ直角三角形なので、斜辺の長さが違うだけですね。

お役に立つ情報であることを願ってます。

No.1 回答者： zongai 回答日時： 2018/01/31 17:55

質問カテゴリ、中学校受験で合ってます？？

加法定理を使う方法なら・・・
とりあえずこちらのサイト。

【3分で分かる！】加法定理の公式と証明、覚え方・使い方のコツまとめ | 合格サプリ
https://goukaku-suppli.com/archives/37112

これを踏まえ・・・

外側の直角三角形について。
短い辺をa、長い辺をbとすると、
a＝10×cos75°、b＝10×sin75°

cos75°ってどんな数字だってなるわけですが、
ここで、上記のサイトにある加法定理をつかいます。

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
よくご存知の角度に置き換えて、

cos(30°＋45°)
＝cos30°cos45°－sin30°sin45°
＝
＝（√3/2）×（√2/2）－（1/2）×（√2/2）
＝（√6/4）－（√2/4）
＝（√6－√2）/4


同様に
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
を使って
cos(30°＋45°)
＜途中省略＞
＝（√6＋√2）/4

よって
新しい正方形の１辺は
a＋b
＝10×cos75°＋10×sin75°
＝10×｛（√6－√2）/4　＋　（√6＋√2）/4｝
＝10×（√6/2）
＝5√6

新しい正方形の面積は
5√6の2乗
＝25×6
＝150

もとの四角形の1.5倍とわかる。

もっとシンプルな解き方、もあるかも。
何倍かを求めるだけなので、もとの10cmを初めから無視してもいいだろうし。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
悲しいことに小学生が解く中学受験の問題なんです。

お礼日時：2018/01/31 18:04