二次方程式において、係数に複素数を含む場合について

この場合解の公式を使ったら、ルートの中にiが入ってくると思うのですが、ここからどうすれば良いですか？

質問者からの補足コメント

• 高校一年生です

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/03/31 23:51

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2018/03/31 23:37

re^(iθ)

とするか、
図を描いて考える。

あなたの予備知識で解き方は変る。
高校生ですか？大学生ですか？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/01 00:54

淡々とルートを開けばいい.

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/01 08:04

例えば、aix²＋ｂix＋ｃi＝０の時　ｘ＝（－ｂi ±√（－ｂ²＋４aｃ）/2ai＝（－ｂ∓√（－ｂ²＋４aｃ）i/2a=－ｂ/2a∓√（－ｂ²＋４aｃ）i/2a

です。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/04/01 08:51

計算の結果、最終的にルートの中にiが残る場合（例えば、√(2i)など）は、高校では扱わない（大学の数学レベル）ので、そんな問題が出ることはない。

（たぶん、そのようになってしまう問題は、解法として解の公式を使うのではない問題）

もし具体的にそんな問題があるのなら、ここに補足で書き込んで。

なお、No.3の、aix²＋ｂix＋ｃi＝０に関しては、両辺をi(≠0)で割って、ax²＋ｂx＋ｃ＝０となるので、普通の問題と同じ。

No.5 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/02 09:40

詳しく知っている人は４、に答えが書いてあります。

1、例による説明：√の中に虚数が入っているとき、その√の数をｚとします。ｚの実数部をa、虚数部をbとすると、z=a+biです。この形を複素数といいます(zの中にaとbの二つの数が入っているので複素数)。ＡＢＣの三つの例を示します。
A:z=ｉ
B:z=１+ｉ
C:z=１+2ｉ
ｚ^２を計算すると、ｚ^２=(a+bi)^２=a^２－b^２+2abｉとなります。
これから√(a^２－b^２+2abｉ)＝±(a+bi) となり、平方根は常に、＋と－が付いた二つがあります。
A: z=ｉからｚ^２＝A^２＝－1、ゆえにz＝√(－1)＝±ｉ
B: z=１+ｉからｚ^２＝B^２＝2ｉ、ゆえにz＝√(2ｉ)＝±(１+ｉ)
C: z=１+2ｉからｚ^２＝C^２＝－3+4ｉ、ゆえにz＝√(－3+4ｉ)＝±(１+2ｉ)
２、絶対値
複素数z=a+biがあるとき、| z |=√(a^２+b^２)をzの絶対値といいます。
すると| z^２|=| z |^２となります。これから|√z|=√| z |となります。
上のABCの例を示すと
A: z=ｉから| z |=|ｉ|=1、| z^2|=|－1|^＝1、さらに|√ｉ|=√|ｉ|＝√1＝1
B: z=１+ｉから| z |=|１+ｉ|=√(1+1)＝√2、さらに|√(１+ｉ)|= √√2＝2の４乗根
C:| z |=|１+2ｉ|=√(1^2+2^２)＝√5、さらに|√(１+2ｉ)|= √√5＝5の４乗根
| z^２|=| z |^２を一般式の計算で確かめると
| z^２|=|a^２－b^２+2abｉ| =√((a^２－b^２)^２+ (2ab)^２)
=√(a^４－2a^２・b^２+ b^４+4a^２・b^２)
=√(a^４+2a^２・b^２+ b^４)
=√(a^２+ b^２)^２= (a^２+ b^２) =| z |^２
３、ガウス平面で考えます。(絶対値と偏角)
ガウス平面とは複素数z=a+biをx-y平面の座標(a,b)の点Pとして描いた図です。
上のABCの例を図に示します。Aの例では、点Aが点Pで、点A^２が点Qです。
ｚ^２=a^２－b^２+2abｉは座標(a^２－b^２, 2ab)となり、この点をQとします。
すると、| z |＝OP、すなわち、zの絶対値は原点OからPまでの長さ(距離)です。
また、| z |^２＝OQ、すなわち、OQの長さです。OP^２＝OQ、OP＝√OQとなります。
角XOPをzの偏角と言います。角XOQをz^２の偏角と言います。
z^２の偏角は、zの偏角の2倍です。∠XOQ=∠XOP×2。
逆に∠XOP=(1/2)∠XOQ。平方根の偏角は半分です。
ガウス平面では、掛け算A×Bの偏角はたし算∠A＋∠Bになり、割り算A/Bの偏角は引き算∠A－∠Bになります。
４、平方根の求め方
z = a+bi =w^２=(x+yi)^２=x^２－y^２+2xyｉから
a= x^２－y^２＿＿(1)
b=2xy＿＿(2)
となる。(2)より
y=b/2x＿＿(3)
となり、(1)に入れると
a= x^２－(b/2x)^２
x^４－a x^２－(b/2)^２=0＿＿(4)
これはX= x^２の二次方程式でa，bは実数だから解の公式より, Xはプラスの根が出る。
X= x^２=(a+√(a^２+b^２)/2
x=±√((a+√(a^２+b^２)/2) ＿＿(5)
(5)を(3)に入れて、分母と分子に√(a^２+b^２)－aを掛けると
y=b/2x
=±b/(2(a+√(a^２+b^２)) =±(√(a^２+b^２)－a)/2bとなる。
例D：z=ｉの時、x=1/√2、y=1/√2、
√z=D＝√ｉ= (1+ｉ)/√2、－D＝－√ｉ=－(1+ｉ)/√2
z=ｉの絶対値は1で偏角は90°。√zの絶対値は1で偏角は45°
例E：z=1+ｉの時、a=1、b=1、x=±√(√2+1)/2)、y=±√(√2－1)/2)
√z=√(1+ｉ)= √(√2+1)/2)+√(√2－1)/2)ｉ
z=1+ｉの絶対値は√2で偏角は45°。√zの絶対値は2の４乗根で偏角は22.5°