合同式の変形

n＋2004は5の倍数で
n＋2005は12の倍数のとき
この条件を満たすnの最小値を求めよという問題なのですが
解答の②以降がわかりません
合同式についてそもそもよく理解してないかもしれないので詳しく書いてくださると嬉しいです

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/09 15:25

n≡1（mod.5）･･･①、n≡11（mod.12）･･･②

一般に整数を60でわるとあまりは0から59なので
ｎ≡ｒ（mod.60）としたときｒを0から59までと制限できます。
60は12の倍数なのでｎ≡ｒ（mod.60）ならばｎ≡ｒ（mod.12）です。
この式から②を辺々ひくと0≡ｒ－11（mod.12）となるので
ｒ－11は12の倍数つまりｒ＝11＋12ｋの形になります。これに0≦ｒ≦59を考慮すると
ｒ＝11、23、35、47、59　となります。したがって
ｎ≡11、23、35、47、59　(mod.60）のいずれかになります。ところが60は５の倍数でもあるので
ｎ≡11、23、35、47、59　(mod.60）がなりたてば
ｎ≡11、23、35、47、59　(mod.5）がなりたちます。しかし
11≡1、23≡3、47≡2、59≡4　(mod.5）なので条件①から
ｎ≡11 (mod.60）となります。つまりｎは
ｎ＝11＋60ｋの形の整数でなければなりません。
逆にｎがこの形の整数ならばｎ－1＝10＋60ｋは５の倍数なのでｎは①を満たし
またｎ－11＝60ｋは12の倍数だからｎは②を満たします。
ゆえに①②を満たすｎはｎ＝11＋60ｋと確定してその正の最初の２つは11、71となるわけです。

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/04/08 23:01

合同式とは、

n+2004=5・k を n+2004=0 (mod 5)と表したものである！
よって、
n=5・kー2004=5kー2005+1=5(kー2005/5) +1
これを
n≡ ー2004 ≡ー1 【mod 5】と表すにすぎません！

ゆえに、同じく
n+2005=12・k
∴ n=12・kー2005=12・kー2004ー1=12(kー2004/12 ) ー1
=12(ー1+kー2004/12) +12ー1
=12(ー1+kー2004/12)+11
これを
n≡ー2005≡ー1 ≡(12-1)≡11

よって、丸1は、おいといて
丸2だけを考えると、mod12において n≡11≡ー1だから
12ー1=11
12・2ー1=23
12・3ー1=35
12・4ー1=47
12・5ー1=59

これらの内、丸1を満たすのは、11 (mod60)だけなので、
11と60+11=71

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2018/04/09 21:16