期待値の漸化式問題で、参考書の解説が理解できない点があります。
下記【答え】の漸化式(①)の導き方について、詳細な解説をご教授ください。
【問題】
AとBの2人がいて、最初にAがa枚、Bが(N-a)枚、(0<a<N)のチップを持っていたとする。コインを投げ、表が出たときはAがBから1枚チップをもらい、逆に裏が出たときにはAがBに1枚チップを与えるものとする。これを繰り返し、どちらか一方の手持ちのチップがなくなった時ゲームは終了する。ただし、コインの表が出る確率と裏が出る確率はともに1/2とする。
Aがn枚(0<n<N)チップを持っているとき、次の1回のコイン投げでともに確率1/2で(n+1)枚か(n-1)枚になる。Aがn枚チップを持っているときからゲーム終了までにコインを投げる回数の期待値e(n)の関係式を答えよ。
※参考元:公務員試験 技術系 スーパー過去問ゼミ 工学に関する基礎(数学・物理)
【答え】
e(n)=1+1/2×e(n+1)+1/2×e(n-1) ・・・①
【参考書に記載されている解説】
コインを1回投げた後、Aがn枚のチップを持つためには、投げる前に(n+1)枚のチップを持っていて裏がでるか、投げる前に(n-1)枚のチップを持っていて表が出るかの2通りである。各々1/2の確率で起こり、コインを1回投げると、回数は1つ増えるので、漸化式は ① となる。
※わからない点※
期待値は 下記式で表されると思います。
e=X・P ・・・②
e:期待値、X:確率変数、P:確率
漸化式①において、②とどのように対応しているかがわかりません。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1/2 はそれぞれの場合の確率から来ています.
e(n) = (1/2)[1 + e(n+1)] + (1/2)[1 + e(n-1)]
と書けばわかりやすい?
Tacosanさん
なるほど!!
e(n) = (1/2)[1 + e(n+1)] + (1/2)[1 + e(n-1)]
(1/2)・・・確率
1+e(n±1)・・・確率変数 (コインを投げる回数の)
ということですね。
おかげ様で理解できました。
周りに聞ける人が一人もいない状態でしたので、凄く助かりました。
また、2度の質問に対して、お早いご回答ありがとうございます。
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