期待値の漸化式問題における解法

期待値の漸化式問題で、参考書の解説が理解できない点があります。
下記【答え】の漸化式（①）の導き方について、詳細な解説をご教授ください。

【問題】
　AとBの２人がいて、最初にAがa枚、Bが(N-a)枚、(0<a<N)のチップを持っていたとする。コインを投げ、表が出たときはAがBから１枚チップをもらい、逆に裏が出たときにはAがBに１枚チップを与えるものとする。これを繰り返し、どちらか一方の手持ちのチップがなくなった時ゲームは終了する。ただし、コインの表が出る確率と裏が出る確率はともに1/2とする。
　Aがn枚(0<n<N)チップを持っているとき、次の１回のコイン投げでともに確率1/2で(n+1)枚か(n-1)枚になる。Aがn枚チップを持っているときからゲーム終了までにコインを投げる回数の期待値e(n)の関係式を答えよ。
※参考元：公務員試験 技術系 スーパー過去問ゼミ 工学に関する基礎(数学・物理)

【答え】
e(n)=1+1/2×e(n+1)+1/2×e(n-1)　・・・①

【参考書に記載されている解説】
　コインを１回投げた後、Aがn枚のチップを持つためには、投げる前に(n+1)枚のチップを持っていて裏がでるか、投げる前に(n-1)枚のチップを持っていて表が出るかの２通りである。各々1/2の確率で起こり、コインを１回投げると、回数は１つ増えるので、漸化式は ① となる。

※わからない点※
期待値は 下記式で表されると思います。
e=X・P　・・・②
e：期待値、X：確率変数、P：確率
漸化式①において、②とどのように対応しているかがわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/15 11:29

1/2 はそれぞれの場合の確率から来ています.

e(n) = (1/2)[1 + e(n+1)] + (1/2)[1 + e(n-1)]
と書けばわかりやすい?

この回答へのお礼

Tacosanさん

なるほど！！
　e(n) = (1/2)[1 + e(n+1)] + (1/2)[1 + e(n-1)]
　(1/2)・・・確率
　1+e(n±1)・・・確率変数　(コインを投げる回数の)　
ということですね。

おかげ様で理解できました。
周りに聞ける人が一人もいない状態でしたので、凄く助かりました。
また、２度の質問に対して、お早いご回答ありがとうございます。

お礼日時：2018/05/15 12:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/15 00:01

1 = 1/2 + 1/2.

この回答へのお礼

Tacosanさん
ご回答ありがとうございます。
理解が悪くすみませんが、ご回答に対して質問があります。

＞1 = 1/2 + 1/2.
1/2はどのようにして導き出すのでしょうか？

お礼日時：2018/05/15 11:08