物理(数学？)の質問

解答お願いします。

問題
θ(t)=θmax cos(ωt+β)
ただしω=√(g/L)

初期条件θ(0)=Θ、dθ(0)/dt=Ωを満足するθmax、βをΘ、Ω、L、gを用いて表せ。ただし、Θ、Ωはともに定数とする。求めた解が任意のtに対して|θ(t)|<<1であるためにΘ、Ωの満足すべき必要十分条件をL、gを用いて表せ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/23 01:11

「物理」の問題として、もともとの問題を示してもらった方が、いろいろと判断できます。

おそらく、糸で吊るした単振り子ですね？
　L ： 振り子の糸の長さ
　g ： 重力加速度
　Θ ： 振り子の初期位置（角度）
　Ω ： 振りの初期角速度
ということなのだと思います。

＞初期条件θ(0)=Θ

素直に t=0 を代入すれば
　θ(0)=θmax cos(0+β) = θmax cos(β) = Θ
なので、
　θmax = Θ/cos(β)　　　　①

＞dθ(0)/dt=Ω

実際に θ(t) を微分して
　θ'(t) = dθ(t)/dt= θmax * ω * [ -sin(ωt + β) ] = -θmax * ω * sin(ωt + β)
t=0 を代入して
　θ'(0) = -θmax * ω * sin(0 + β) = -θmax * ω * sin(β) = Ω
より
　θmax = -Ω/[ ω * sin(β) ]　　　②

①②より
　Θ/cos(β) = -Ω/[ ω * sin(β) ]
→　sin(β)/cos(β) = -Ω/Θω
ω=√(g/L)　なので
　tan(β) = -(Ω/Θ)√(L/g)　　　③
よって
　β = arctan[ -(Ω/Θ)√(L/g) ]　　④

また、①②と
　sin^2(β) + cos^2(β) = 1
より
　[ -Ω/(ω*θmax) ]^2 + (Θ/θmax)^2
= Ω^2 /(ω^2*θmax^2) + Θ^2/θmax^2 = 1
→　θmax^2 = Ω^2 /ω^2 + Θ^2

従って
　|θmax| = √(Ω^2 /ω^2 + Θ^2)　　　⑤
ω=√(g/L)　なので
　|θmax| = √(Ω^2 L/g + Θ^2)　　　⑤


任意の t に対して
　|θ(t)|<<1
ということは、
　|θmax|<<1
ということです。ここに⑤を使って
　0 < √(Ω^2 L/g + Θ^2) << 1
2乗しても大小関係は分からないので
　0 < Ω^2 L/g + Θ^2 << 1
従って
　Ω^2 L/g << 1 - Θ^2
よって
　 L/g << (1 - Θ^2)/Ω^2
ということかな？

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/06/22 12:55

θ(t)の式に出てくるcos(ωt+β)に加法定理を適用すればよい。

その上でt=0を代入すればいいでしょう。