この問題の解き方なんですが、x=i を代入すると教えて貰ったのですが、なんで i なんですか？質問

Question

この問題の解き方なんですが、x=i を代入すると教えて貰ったのですが、なんで i なんですか？

質問の内容が分かりずらくてすみません。

ちなみにその時の回答はこうです（途中省略）。

x^2011 = (x^2+1) + Q(x) + ax+b
x = i を代入すると i^2011 = (i^2+1) + ai+b
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
　 　a = −1 b = 0

∴　余りは −x 　....（答）

springside · Accepted Answer

>>springsideさんのいう商を考えなくていいというのはmagimelon37さんの回答にあるように i^4 は 1 となり 1 × i^3 となりるからですか？

こういうことです。

x²⁰¹¹をx²+1で割った商をQ(x)とおく。また、余りは1次以下（注：1次と書いてはだめ。1次以下と書く）の式だから、ax+bとおける。
すると、x²⁰¹¹=(x²+1)Q(x)+ax+bとなる。
このとき、Q(x)はどんな式か判らないが、x²+1=0になるようなx、つまり、x=iを両辺に代入すると、
i²⁰¹¹=(i²+1)Q(x)+ai+b
i²⁰¹¹=ai+b　←i²=-1だから、i²+1=0となって、Q(x)が消える。　①

同様に、x=-iを代入すると、
(-i)²⁰¹¹={(-i)²+1}Q(x)-ai+b
-i²⁰¹¹=-ai+b　←x=-iの場合でも、(-i)²=i²=-1だから、i²+1=0となって、Q(x)が消える。　②

ここで、i²=-1、i³=-i、i⁴=-i²=1だから、i²⁰¹¹=i^(2008+3)=i^(4×502+3)=i^(4×502)×i³=(i⁴)⁵⁰²×i³=1⁵⁰²×(-i)=-i
よって、
①より-i=ai+b、②よりi=-ai+bとなる。これらからa、bを求めると、a=-1、b=0

よって、余りは-x…答

-----------------------------------------------------------------------------
ポイント：　1：Q(x)が消えてしまうように、xを上手く決めて両辺に代入すること。
　　　　　　2：iについては、i¹=i、i²=-1、i³=-i、i⁴=-i²=1、i⁵=i^(4+1)=i⁴×i¹=i、i⁶=i^(4+2)=i⁴×i²=1×(-1)=-1というように、iの累乗は、4つごとに循環することを利用すること。

majimelon37 · Answer

そしてもう1つすみません、余りは1次式と決めつけてはいけないと回答してくださった方がいますが、＞
余りが0次式になる可能性があるということです。
余りをax+bと置くことはできるが、1次式と決めつけるとa≠0ときめつけることになるので、いけない。a=0の可能性もあるので、1次以下というのが正確だ。
実際、問題がx^2011 の代わりにx^2010 またはx^2の場合は、
余り=－1は0次式になる。

零化イデアル · Answer

x の 2011 次式を x の 2 次式で割る場合,
(1) 割り切れる
(2) 余りは定数
(3) 余りは x の 1 次式
これら 3 パターンがあります.
余りが x の 1 次式であるかどうかは, きちんと調べてからでないと, 何ともいえません.
余りを ax + b とおくことは可能ですが, これが x の 1 次式だという保証はありません.

springside · Answer

端的に言うと、x=iのときには（xにiを代入すれば）商を考えなくてもいいから。

零化イデアル · Answer

ℤ[x], ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x], いろいろありますが.
どの範囲で考えている問題なのか, はっきりしません.
g(x) = x² + 1 は最高次の係数が 1 なので, 商 q(x) と 余り r(x) はどちらも ℤ[x] の元になります.
ただ, これは高校数学では習いません.
ℚ[x] と ℝ[x] はユークリッド整域なので, そこまで広い範囲で考えれば, 十分という気もしますが.
しかし, この問題で商 q(x) と余り r(x) = ax + b が ℝ[x] の元であることを「証明」しろといわれれば, 簡単ではないでしょうね.
かといって, 実際に x^2011 を x² + 1 で割って商と余りを求めるのは, 非現実的です.
ℂ が代数閉体であることに敬意を表して, ℂ[x] での話としましょう.

f(x) = x^2011 を x² + 1 で割った商を q(x), 余りを r(x) = ax + b とします.
ここで, f(x) = x^2011, x² + 1, q(x), r(x) = ax + b ∈ ℂ[x] と考えます.
f(x) = x^2011 = (x² + 1)q(x) + ax + b ですが, この時点では a ≠ 0 が正しいかどうか確認できていません.
よって, 余り r(x) = ax + b を「1次式」と決め付ければ, 必ず減点されます.
f(i) = -i = ai + b
f(-i) = i = -ai + b
辺々加えて 0 = 2b, よって b = 0
これより a = -1
よって, 余り r(x) = ax + b = -x となります.

以下のように変形すれば, 剰余の定理が使えます.
f(x) = x^2011 = (x - i){(x + i)q(x) + a} + ai + b = (x + i){(x - i)q(x) + a} - ai + b
もちろん, f(i) = -i = ai + b, f(-i) = i = -ai + b と, 先ほどと同じ結果が得られます.

なぜ x に i を代入するかといえば, i が x² + 1 の根だからです.
x に -i を代入する理由も, まったく同じです.

Tacosan · Answer

ちょっとその「証明」の「途中省略」の部分が気になる.

剰余の定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
をきちんと使ってればいいけど, 変なことをすると #1 のように落とし穴を残すことになるので注意だねぇ.

majimelon37 · Answer

整式ｘ^2011をx^2＋１で割った余りを求めよ。

ｘ^2011をx^2＋１で割った余りは１次式になるからax+bと置く。
ｘ^2011をx^2＋１で割った商をQ(x)とすると
x^2011 = (x^2+1) Q(x) + ax+b＿＿①
(注意x^2011 = (x^2+1) + Q(x) + ax+bは間違い。＋記号１カ所は不要)
x = i を代入すると左辺は
ｉは4乗すると1になり、消すことができるので
2011÷4＝502余り3　だから、余りの３回分だけの掛け算になるので
左辺= i^2011= i^3=－ｉ＿＿②
右辺は(x^2+1)のxにｉを入れると、x^2+1=ｉ^2+1=－1+1=0
式①の右辺で(x^2+1) Q(x)は0×Q(x)だから0となる。
式①の右辺= ax+b=aｉ+b＿＿③
②③から－ｉ=aｉ+b
a=－1，b=0
余りax+b=－xが答え

この問題の解き方なんですが、x=i を代入すると教えて貰ったのですが、なんで i なんですか？ 質問

>>springsideさんのいう商を考えなくていいというのはmagimelon37さんの回答にあるように i^4 は 1 となり 1 × i^3 となりるからですか？

そしてもう1つすみません、余りは1次式と決めつけてはいけないと回答してくださった方がいますが、＞

x の 2011 次式を x の 2 次式で割る場合,

端的に言うと、x=iのときには（xにiを代入すれば）商を考えなくてもいいから。

ℤ[x], ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x], いろいろありますが.

ちょっとその「証明」の「途中省略」の部分が気になる.

整式ｘ^2011をx^2＋１で割った余りを求めよ。

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