この等式がｘについての恒等式となるようにabcの値を定めよ。という問題ですが、解き方を教えて頂けると

この等式がｘについての恒等式となるようにabcの値を定めよ。という問題ですが、解き方を教えて頂けると嬉しいです。
答えはa=1/3 b=-1/3 c=2/3です。

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/15 12:24

通分して、各次数を比較するだけ！

a(x^2ーx+1)+(bx+c)(x+1)=(a+b)x^2 +(b+cーa)x +a+c=1より
a+b=0 ,b+cーa=0 ,a+c=1
∴ b=ーa ∴ ーa+cーa=ー２a+c=0 ∴ c=2a
よって a+c=a+2a=3a=1 ∴ a=1/3 ,b=ー1/3 ,c=2/3

No.3 回答者： ココでお困りのワタシ 回答日時： 2019/01/15 01:54

恒等式の解き方は、

❶展開して係数を比較
❷適当な数値を代入
が基本です。
この問題は、❶の方法で解きます。

まず、分母に注目すると、
x^3＋1=(x＋1)(x^2－x＋1)
の公式が思い浮かぶのでは。
よって、右辺の分母を x^3＋1 の形にして通分します。
左辺の分子は 1
右辺の分子は
(x^2－x＋1)a＋(x＋1)(bx＋c)
両辺にx^3を掛けて、分母を払うと
1=(x^2－x＋1)a＋(x＋1)(bx＋c)
xについて整理すると
(a＋b)x^2＋(－a＋b＋c)x＋a＋c=1
両辺の係数を比較して
a＋b=0，－a＋b＋c=0，a＋c=1
この3つの式を連立させて解くと、abcの値が求められます。

No.2 回答者： chay.silentsilen 回答日時： 2019/01/14 22:29

筆圧がうすく見にくくすみません

これでわかるでしょうか？
わからない所をしつもんしていただけれ

No.1 回答者： kurokurosun 回答日時： 2019/01/14 22:15

単なる分数の計算ですよね。

右辺を通分すれば、いいだけです。

a/(x+1)に(X^2-x+1)を掛けて

(bx+c)/(x^2-x+1)に（x+1）を掛けて

足したら、判ると思います。

分子が、
(a+b)x^2+(b+c-a)x+a+c になるから、これが左辺の１と等しいので、

とりあえず、手を動かして、計算してみることです