数学的帰納法の問題

15の(2)を教えてください

No.6 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/03/28 13:53

(1)は（２）のヒント、という事で出題者の意図通り、誘導にのっかて解くと

a1=1
a2=4/3
a3=4/(4-4/3)=12/(12-4)=12/8=3/2
a4=4/(4-3/2)=8/(8-3)=8/5
a5=4/(4-8/5)=20/(20-8)=20/12=5/3
より階差数列は
a2-a1=1/3
a3-a2=9/6-8/6=1/6
a4-a3=16/10-15/10=1/10
a5-a4=25/15-24/15=1/15

この事から階差数列は、分子が１で、分母は３から３，４，５と１づつ増えたものになりそうだと推測できる
（つまり、階差数列で1/15は　分母が１０から５増えて15となっているから、1/15の次は分母が6増えて21となるはず→
1/15の次は1/21となることが推測される）
分母の 3,6,10,15,21・・・と言う数列の階差数列①は
3,4,5,6・・・　という等差数列だから
階差数列①は　3+Σ[K=1～n-1](2+k)=3+2(n-1)+(1/2)(1+n-1)(n-1)=(1/2)(n²+3n+2)と表される
よって　a[n+1]-a[n]＝1÷{(1/2)(n²+3n+2)}＝2/(n²+3n+2)
従って　
an=a1+Σ[K=1～n-1]｛2/(k²+3k+2)｝
＝1+2Σ[K=1～n-1]｛１/(k²+3k+2)｝
=1+2Σ[K=1～n-1]{1/(k+1)(k+2)}
=1+2Σ[K=1～n-1][{(k+2)-(k-1)}/(k+1)(k+2)]
=1+2Σ[K=1～n-1]{1/(k+1)-1/(k+2)}
=1+2{1/2-1/(n+1)}
=2-{2/(n+1)}
＝2n/(n+1)…②と推測される
あとは、これを帰納法でしょうめいすれば完成


A・・・
n=1のとき
a1=2x1/(1+1)=1で②は成り立つ

B・・・
n=m(m≧1)のとき②が成り立つと仮定すると
am=2m/(m+1)

n=m+1のときを考えると
a[m+1]=4/(4-am)=4÷[4-{2m/(m+1)}]
=4÷{(2m+4)/(m+1)}
=4(m+1)/(2m+4)
=2(m+1)/(m+2)
よりn=m+1のときも②は成り立つ

A,Bよりすべての自然数nについて②は成り立つ

この回答へのお礼

長ったらしいぜ

お礼日時：2019/03/28 14:06

No.5 回答者： なるるん0 回答日時： 2019/03/28 00:57

an=2n/n+1

No.4 回答者： なるるん0 回答日時： 2019/03/28 00:40

...忘れてくれ

No.3 回答者： なるるん0 回答日時： 2019/03/28 00:37

案の定間違ってたw

an=-5/1+(-4)^n
だと思います

No.2 回答者： なるるん0 回答日時： 2019/03/28 00:31

帰納法？何それ美味しいの？

両辺、逆数を取り
1/an=bnと置くと
bn+1=-4bn+1
b1=1/a1=1 より
bn =6/5(-4)^n-1-1/5
∴ an=5/-1+6(-4)^n-1

私は模試の点数半分をケアレスで落とした勇者なので多分間違ってます
(≧∀≦)ﾃﾍﾍﾟﾛ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/28 00:24

どこまでできているのでしょうか?