数学Ⅲです。
f(x)=2x+ax/(x^2+1)が極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように、定数aの値の範囲を求めよ。
という問題なのですが、解説に
f'(x)=2x^4-(a-4)x^2+a+2
f'(x)=0とすると、2x^4-(a-4)x^2+a+2=0
x^2=tとおくと
2t^2-(a-4)t+a+2=0・・・①
tの2次方程式①が異なる2つの正の解をもつとき、f'(x)=0は異なる4つの実数解を持ち・・・とあるのですが、単にtの2次方程式の判別式D>0だけではダメなのですか?なぜ解が2つ正でないといけないのですか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>f'(x)=2x^4-(a-4)x^2+a+2
ではなく
f'(x)= [ 2x^4-(a-4)x^2+a+2 ]/ (x^2+1)
ということですね?
>なぜ解が2つ正でないといけないのですか?
まず、x^2 = t とおいたのだから、x が実数であるためには t>0 でなければならないですよね?
tの2次方程式の判別式D>0だけでは、t<0 の解もあり得るので、そのときには x の実数解が「4つ」になりません。
x の実数解が「4つ」必要なのは、与えられた問題が「極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように」だからです。
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