数III 微分の質問です。

関数f(X)=2x+(ax/x²+1) が極大値と極小値をそれぞれ２つずつもつような定数aの値の範囲を求めよ。
・・・という問題なのですが、「f(x)が極大値と極小値を２つずつもつような条件」というのが教科書やチャートにも載っておらず、また先生の解説を聞いても、よく分かりません。どなたか教えて頂けないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/01 21:12

その f(x) は、実数全域で微分可能なので、

f(c) が極値であるような c については f'(c)=0 でなくてはなりません。
そのため、「f(x)が極大値と極小値を２つずつもつ」ことの必要条件として、
f'(x)=0 が解 x を 4 個持たなくてはならない。
f(x)=(xの3次式)/(x^2+1) ですから、商の微分法則によって
f'(x)=(xの4次式)/(x^2)^2 となります。分子の4次式を具体的に計算し、
分子=0 が実数解を 4 個持つ条件を求めてみましょう。
その 4 個の解の近傍で、f'(x) の符号が、(+)→(-) と変わるもの 2 個、
(+)→(-) と変わるもの 2 個になっていれば十分です。
分子の4次関数のグラフを考えれば、判定できますね。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/01 23:54

概ね、それでよいが、

f'(x)=0 が 4 個の解を持つことは、
必要条件に過ぎない。
A No.1 に書いた如く、十分性の確認は要る。
例えば、f(x)=∫(xの2乗)(x-1)(x-2)(x-3)dx
のとき、何が起こる？

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/02/01 21:46

＞f(x)が極大値と極小値を２つずつもつということは、f'(x)=0が

異なる4個の実数解をもつということ。
f(x)=2x+ax/(x^2+1)={2x^3+(a+2)x}/(x^2+1)
f'(x)=[(x^2+1)(6x^2+a+2)-2x{2x^3+(a+2)x}]/(x^2+1)^2
=[(x^2+1)(6x^2+a+2)={2x^4+(4-a)x^2+a+2}/(x^2+1)^2
(x^2+1)^2≠0なので、2x^4+(4-a)x^2+a+2=0が異なる4個の実数解を
もつためには、x^2=yと置き換えた2y^2+(4-a)y+a+2=0が異なる2個の
正の実数解をもたなければならない。そのためには
2y^2+(4-a)y+a+2=2{y^2+(4-a)y/2}+a+2
=2{y+(4-a)/4}^2+a+2-(4-a)^2/8=2{y+(4-a)/4}^2+(16a-a^2)/8
から(16a-a^2)/8＜0が必要で、かつyの解のうちの小さい値が正、
[-(4-a)-√{(4-a)^2-8(a+2)}]/4＞0が必要。
(16a-a^2)/8＜0からa(16-a)＜0、a＜0または16＜a・・・・・(ア)
[-(4-a)-√{(4-a)^2-8(a+2)}]/4＞0から{-(4-a)-√(a^2-16a)}＞0
-(4-a)＞√(a^2-16a)、左辺＞0から4＜a・・・・・(イ)
二乗して16-8a+a^2＞a^2-16a、a＞-2・・・・・(ウ)
よって定数aの値の範囲は(ア)(イ)(ウ)から16＜a・・・答