数学Ⅲです。 f(x)=2x+ax/(x^2+1)が極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように、定数

数学Ⅲです。
f(x)=2x+ax/(x^2+1)が極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように、定数aの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、解説に
f'(x)=2x^4-(a-4)x^2+a+2
f'(x)=0とすると、2x^4-(a-4)x^2+a+2=0
x^2=tとおくと
2t^2-(a-4)t+a+2=0・・・①
tの2次方程式①が異なる2つの正の解をもつとき、f'(x)=0は異なる4つの実数解を持ち・・・とあるのですが、単にtの2次方程式の判別式D>0だけではダメなのですか？なぜ解が2つ正でないといけないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/02 18:01

＞f'(x)=2x^4-(a-4)x^2+a+2

ではなく
　f'(x)= [ 2x^4-(a-4)x^2+a+2 ]/ (x^2+1)
ということですね？

＞なぜ解が2つ正でないといけないのですか？

まず、x^2 = t とおいたのだから、x が実数であるためには t>0 でなければならないですよね？
tの2次方程式の判別式D>0だけでは、t<0 の解もあり得るので、そのときには x の実数解が「４つ」になりません。

x の実数解が「４つ」必要なのは、与えられた問題が「極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように」だからです。

No.1 回答者： notn 回答日時： 2019/07/02 17:53

x^2 = t と置いているため t > 0 でないと置換が有効でなくなってしまいます。