Oを原点とするxy平面において直線lが点A(1,2)を通り、x軸をおよびy軸とそれぞれ正の部分で交わ

Oを原点とするxy平面において直線lが点A(1,2)を通り、x軸をおよびy軸とそれぞれ正の部分で交わっている。lとx軸、y軸の交点をそれぞれP,Qとし、三角形OPQの周の長さをLとする。 lが動くとき、Lの最小値を求めよ。
この分野苦手です。教えてくれませんか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/07/13 08:30

直線ｌの方程式を、y-2=m(x-1) 　 (m<0) とする。

これより、P(1-2/m,0) , Q(0,2-m)
L=(1-2/m)+(2-m)+√{(1-2/m)²+(2-m)²}・・・①

(1-2/m)+(2-m)=k　とおくと、
2-m=k-(1-2/m)・・・②

(１)　②を利用して、
(1-2/m)²+(2-m)²
=(1-2/m)²+{k-(1-2/m)}²
＝(1-2/m)²+k²-2k(1-2/m)+(1-2/m)²
=2(1-2/m)²-2k(1-2/m)+k²
＝2{(1-2/m)-k/2}²+k²/2
これより、1-2/m=k/2のとき最小
②より、1-2/m=2-m　のとき最小

(２) 1-2/m>0, 2-m>0
相加相乗平均により、(1-2/m)+(2-m)≧２√{(1-2/m)(2-m)}
1-2/m=2-mのとき最小

(１)、(２)により、①は　1-2/m=2-m　のとき最小
m-2=2m-m²
m²-m-2=0
(m-2)(m+1)=0
m<0より、m=-1
①に代入して、最小値は、L＝6+3√２

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2019/07/06 08:34

Pの座標を(1+a,0)とでも置いてQの座標をaを使って表す。

三平方の定理を使ってPQの長さをaで表す。
それが出来ればLもaで表せる。
Lをaで微分して増減を調べればLが最小となるaの値が 判る筈。
実際に解いたわけではないので何とも断定は出来ないが増減の調べように困るような複雑な式になるかも知れない。その場合は相加相乗平均の関係を用いた方が良いのかも知れない。使えるかどうかは知らない。