点Pが円の内外にあるかによってθとの大小関係が決まる事を証明する方法を教えて下さい。

点Pが円の内外にあるかによってθとの大小関係が決まる事を証明する方法を教えて下さい。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/07 03:34

直線APと円周の交点を点Qと置くと

円周角の定理より ∠AQB = θ となるので、
△BPQ を考えれば
∠APB と θ の大小が比較できる。

No.4 回答者： 日本朝顔 回答日時： 2019/11/03 07:06

№2です。

証明に不十分なら破棄ください。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/02 11:40

あなたのUPした画像において角度θである頂点をQとする

そして、円周上に（太線で示された弧AB以外の周上に）点P'をとる
¹(1) Pが円の内部の場合　
APの延長線上にP'が来るようにすると
円周角の定理から、∠AP'B=∠AQB
外角の定理から　∠APB=∠AP'B+∠P'BP
ゆえに、∠APB=∠AP'B+∠P'BP=∠AQB+∠P'BP>∠AQB(←←←つまり∠APB>∠AQB）
θを用いれば
∠APB>θ

（２）Pが円外の点の場合
線分AB上にA,Bとは異なる点Cを取る
直線CPと円周の交点をP'とする（下図）
∠APC=∠AP'C-∠PAP'(⇔赤三角で外角の定理：∠APC+∠PAP'=∠AP'C）
∠CPB=∠CP'B-∠PBP'(⇔緑三角で外角の定理：∠CPB+∠PBP'=∠CP'B)
ゆえに∠APB=∠APC＋∠BPC
=∠AP'C-∠PAP'+∠CP'B-∠PBP'
=(∠AP'C＋∠CP'B)-∠PAP'-∠PBP'
=∠AP'B-∠PAP'-∠PBP'<∠AP'B
円周角の定理から
∠AP'B=∠AQB=θだから
∠APB<θ

No.2 回答者： 日本朝顔 回答日時： 2019/11/02 10:55

照明は不得手で希望にかなっているかどうか？

参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

半径の長さが大きいどうかの証明が必要だと思います。。。

お礼日時：2019/11/03 01:47

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/11/02 00:58

円周角の定理+三角形の内角と外角の関係.