【重力】日本からブラジルまで穴を掘って進んでいくと…？

Question

日本から地球の裏側まで穴を掘り進めてブラジルまで行くとします。
はじめは足元を掘って進んで行くわけですから、「降りていく」格好になると思いますが、地球の中心を過ぎたら、重力の関係で「登って行く」形になりますよね？

ブラジルに出るまでにどのような現象が起きるのでしょうか？体への抵抗やどのような状況に陥るかなど、理論上の話をお聞かせ下さい。

私と同じ素人の方の推論なども聞いてみたいです。

変な質問ですがお付き合い下さい。

siegmund · Accepted Answer

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93834
で「地球の中心を貫く井戸の気圧」というのがありまして，
いろいろ面白い議論が載っています．

もちろん
> 暗黙の了解のつもりだったのですが、マグマとかは無視の方向でお願いします（笑）。
> あと硬くて掘れないとかもなしで（笑）。

> 地球環境的なハードルはすべて無視の方向で（笑）
という前提での議論です．

> え！？そうなのですか？中心に向かって重力が働くので、ボールは中心で留まらないのでしょうか？
> それとも落下の勢いでいったんは向こう側に達して、また重力で落下して、また勢いで…という具合に延々と続くということでしょ> うか？
おっしゃるとおりです．
振り子が鉛直の位置で止まらず振れ続けるのと同じ理屈です．

> 地球より小さな惑星（月とか）の重力は地球のそれより弱いので、
> 中心に近いほど重力というものは弱くなるんだろうなあ、とは導き出せるのですが、
> 一方で、中心に向かっている重力が離れた地点のほうが強く働くというのがよく理解しきれません…。
> 両外側の質量が打ち消し合い、その差分だけが働くからなんでしょうか？
これもおっしゃるとおりです．
今考えている場所より中心側の質量が全部中心に集まったとしたときの
引力と同じになることがわかっています．

siegmund · Answer

No.10 の siegmund です．

guuman さん：
> 早く誰かが最大速さと到達時間を出してほしいものですね？

No.10 で紹介しましたスレッド
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93834
「地球の中心を貫く井戸の気圧」
にありますように
地球の裏側までの到達時間は約４２分
中心での速度は約 7.9 km/s です．
そのスレッドで stomachman さんが指摘されたように，
この 7.9 km/s は第一宇宙速度に他なりません．

質量の分布が球対称であれば，球の中心では各部分からの万有引力が互いにキャンセルして
(これはすぐ後の距離依存性がどんな形でもなりたちます)，
結局力が働かないのはほとんど自明です．
しかし，
「地球の内部にいるときに受ける力は，
その深さより中心よりの質量が全部中心に集中したと考えてよい」
というのはもっと微妙な問題です．
各部分からの力の打ち消し合いは当然起こりますが，
その点より地表よりの部分からの寄与がちょうど完全にキャンセルするのは
かなり特殊な事情によります．
それは，万有引力が距離 r に対して 1/r^2 の依存性を持つということです．
他の形にの距離依存性ですと，ちょうどキャンセルするということはありません．
電磁気のクーロン力も同じ 1/r^2 の距離依存性を持っています．
ここらへんが manda さんが No.13 で書かれていることです．

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93834

guuman · Answer

早く誰かが最大速さと到達時間を出してほしいものですね？

DoragonFang · Answer

なかなか面白い話ですね。ちょっと参加させてください。

掘っていく場合は、中心で無重量状態になりますから、掘った土は強制的に送り出さないと、中心側へ「落ちて」こようとすると思います。
中心位置では、１Gで送り出さないと地表へは到達しないと言うことでしょうね。
中心を超えたら、土は中心へ向かって「落ちて」息ますが、振り子の原理で戻ってきますので、これも強制的に送る装置がいるでしょう。ただし、中心までは落ちてくれるので、中心から送りだすことが必要でしょう。

はしごの問題ですが、最初は降りていきます。だんだん無重量状態になりますので、体が軽く、浮いてくるような感じになり、中心では、「無重量」です。
さらに進もうとすると、中心へ向かって重力がはたらきますから、逆立ちをしてはしごを登っていくような感じでしょうね。
なので、降りてきた体勢で進むのは無理。結局、中心を過ぎると、降りてきたのと反対の方を向いての「登っていく」形になると思います。
しかも、だんだん、重量がましてきます。

空気の問題やら、摩擦やらを度外視して考えるとこんな感じではないでしょうか。

manda · Answer

◆「中心に近いほうが重力が弱くなるのは、わかるようなわからな
　　いような…」

　地中の、ある深さまでもぐった地点で受ける引力について考えれ
ばよいのですね。
　地球の中心からその地点までの距離を ｒ として、地球を
　　(1) 半径 ｒ の球
　　(2) 地球全体から (1) を取り除いた球殻
の２つに分けて考えると、
　(1) は、その質量全部が地球の中心に集まっているとして計算
　　　したのと同じだけの引力
　(2) から受ける引力は、全体としては互いに相殺してゼロ
ということになり、結局 (1) だけの引力がある事になります。

　　　　○　　　　○　　　　○

　上記の事を導き出す方法は、
　a) 地球を、細かい部分に分割して、各々から受ける引力の総和
　　を求める…　要するに積分ですね。
　b) 電磁気学を学んだ人なら、
　　「球状に分布した電荷から出る電気力線」
　　の考え方を流用する。
　　（クーロン力と万有引力の式は同じ形ですから）
等があります。

　それから、この、日本←→ブラジルのトンネルの話とか、
「球殻の内部では万有引力がゼロ」などは、カッパブックスの
『科学パズル』という本に載っています。

Flak45 · Answer

#3です。

重力トンネルについての知識。

地球上、どこに重力トンネルを掘っても反対の出口までの時間は一緒だそうです。

東京～博多
東京～リオデジャネイロ

どちらも同じ時間がかかる。

理由：浅いトンネルは距離が短いがゆるゆると加速し、中間点を過ぎるとゆるゆると減速。深いトンネルは急激に加速し急激に減速するが距離が長い。
(計算省略)

tnks · Answer

昔、大学受験の時に同じ様な問題を解いた覚えがあります。確か重力トンネルとかいう名前が付いていた様にも思います。

重力トンネルは必ずしも地球の中心を通らなくても同じことが言えると思います。
要は、地球表面上のある一点から他の一点に直線の穴を掘ればこれまで議論されていた様な単振動が実現されまるとおもいます。（図を書けないので分かりにくかったら申し訳ございません。）
ですから、地表から深い事による重力トンネルの困難さ（高温高圧）は、もしかしたら回避できるのでは無いか？とか考えたりもします。

以上浅はかな考えで申し訳ございません。
懐かしい話でしたので、議論に加わらせていただきました。

noname#11476 · Answer

ニュートンがりんごを落ちるのをみてひらめいた（これ自体が事実かどうかは別にして）というのが万有引力の法則です。
で、ご質問を見ると完全にはこれを理解していないかなぁと思われますので、一応解説しますね。

「万有引力」という意味はすべての「質量を持っている物質は」「他の質量のある物質を」「引き寄せる力を持っている」という意味です。

つまり重力源というのは質量のある物質であればどんなものでも該当するわけです。

式で書くと　力Ｆ＝Ｇ（重力定数）×Ｍ（一つの物質の質量）×ｍ（もう一つの物質の質量）／｛ｒ（互いの距離）＾２｝　となります。

一般には地球の表面では地球の質量Ｍは一定で距離ｒもほとんど変らないので、これをまとめてＧＭ／ｒ＾２を重力加速度ｇで表すと　Ｆ＝ｇｍ　と単純に重量に比例する力で地面に押し付けられるというわかりやすい形になります。

さて、地球の質量の大半は中心部分に集まっていて高温・高圧の状態になっていますので、地球から地下に進むと、ある程度まではあまりこの引力の力に変化はありません。
しかしどんどん中心付近に行くと、話は単純ではなくなります。つまり引力が分散されてくるのです。

もし中心に到達した場合は、受ける力は全方向から等しい力となるので、相殺されて結局無重力になります。
中心から少しずれた状態を考えると、自分の周りの地球の物質の質量には偏りが出来ますので、質量の多い方向に引き寄せられます。しかしこのときの力は地球の質量すぺてが引っ張る力となっていた地表のときよりは当然弱くなります。反対の力もかかるから弱くなるためですね。

もしブラジルまで通じるトンネルを掘り、中を真空にして（空気抵抗を０にする）やると、そこでボールを落とすと中心に向かって加速されていき、中心では重力は０になりますが、それまでに加速によってついた運動エネルギーを今度は放出する形で反対側のブラジル地表まですすみ、そこで蓄えた運動エネルギーは０になります。
同じ事を繰り替えすと、摩擦や抵抗などの損失がなければ永久にこの動作を繰り返すことになるでしょう。

guuman · Answer

穴が掘れて空気抵抗がなかったとすると
穴に落ちた人は常に無重力状態にあります
落ちはじめと反対側付近で速さが0であり
中心付近で最大速さになります
中心部の最大速さと反対側への到達時間は微分方程式を解けばでてきます
これを改めて質問すれば暇な人が解いてくれるでしょう

K-1 · Answer

素人です。
ジェットコースターと同じような感じではないでしょうか。
核までの降下中は「落ちていくＧ」、核を通過して上昇中は「登るＧ」。

【重力】日本からブラジルまで穴を掘って進んでいくと…？

No.10 の siegmund です．

早く誰かが最大速さと到達時間を出してほしいものですね？

なかなか面白い話ですね。

◆「中心に近いほうが重力が弱くなるのは、わかるようなわからな

#3です。

昔、大学受験の時に同じ様な問題を解いた覚えがあります。

ニュートンがりんごを落ちるのをみてひらめいた（これ自体が事実かどうかは別にして）というのが万有引力の法則です。

穴が掘れて空気抵抗がなかったとすると

素人です。

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