数学の問題です

１辺の長さが４の正四面体ABCDがあり、辺AB上にAE:EB＝3：1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとし、点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。という問題がどうしても解けません。どなたかお教えください。

No.1 回答者： penyoela 回答日時： 2020/06/16 15:08

ベクトルを使ってゴリゴリ解いてくれても構いませんが、ベクトルを使わない図形的な解法があります。

正四面体の面がすべて1辺の長さ4の正三角形なので、余弦定理を使うとCE, EF, CFの長さ、つまり三角形CEFの3辺の長さが分かります。そうするとヘロンの公式により三角形CEFの面積が求まります。その面積をSとおいて、求める長さをhとしましょう。
そうすると四面体ACEFの体積は (1/3)Sh と表されます(三角錐の体積の公式)

ところで四面体ACEFの体積は次のようにも求められます。
正四面体ABCDの体積は簡単に求まるでしょう。((16√2)/3となります)この値をVとおくと、四面体ACEFの体積はVの(3/4)*(1/2)倍です。(錐体の体積比を辺の比で表す。ここがわからなければまた質問してください)

つまり四面体ACEFの体積が2通りに表せて
(1/3)Sh=(3/4)*(1/2)V
いまSとVの値はすでに求まっているので、hの値も求まります。

この回答へのお礼

大変ご親切な説明で、よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2020/06/16 15:49