積分の問題が分からない ∫e^(-x)sinnxdx

∫e^(-x)sinnxdxを教えてください。　

何故か計算していくとn^2∫e^(-x)sinnxdxが出てきてこれ以上の計算が不可能となってしまいます。
一体どうすればいいんでしょうか？


∫e^(-x)sinnxdx=-e^(-x)sin(nx)-{ne^(-x)cos(nx)+n^2∫e^(-x)sin(nx)dx}ここまで解けました。

解説？には、これから{-e^(-x)sin(nx)ne^(-x)cos(nx)}/(n^2+1)になると書いてありました。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/06/18 14:55

両辺に同じ ∫e^(-x)sinnxdx が出てきますね。

このままだとわかりにくいので I=∫e^(-x)sinnxdx と置き換えるとわかりやすいでしょう。
I=-e^(-x)sin(nx)-{ne^(-x)cos(nx)+n^2*I}
となります。
あとは右辺のn^2*Iを移項して両辺を(n^2+1)で割ればよい。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 16:52

計算していくとまた∫e^(-x)(sin nx)dx が出てきたってことは、

∫e^(-x)(sin nx)dx を解に持つ方程式が見つかった
ということですね。それを解けば、∫e^(-x)(sin nx)dx の値が求まります。

参考書等には、よく
部分積分を使って ∫e^(-x)(sin nx)dx を ∫e^(-x)(cos nx)dx の入った式で
∫e^(-x)(cos nx)dx を ∫e^(-x)(sin nx)dx の入った式で表し、
連立方程式を解いて ∫e^(-x)(sin nx)dx と ∫e^(-x)(cos nx)dx を一気に求める
という解法が載っています。その解法は、一度は見たことがなければ不勉強です。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/06/18 16:15

部分積分を2回やれば同じ形が出てくるので、それについて解けばいい。