上皿天秤に対する、分銅の最小個数

Question

http://www5e.biglobe.ne.jp/~emm386/2015/numeration/nb02.html
この問題を見て下さい。（上の方の２進法の解です）
つまり、天秤の片側にしか分銅は載せられず、試料の重量は、整数g であると仮定して下さい。

いくつかこのような問題を調べてみたところどの回答も 1g の分銅がありましたが、1g の分銅は必要ないのでは？と思うのですが、どうでしょうか。
1g から 40g まで測りたいとします。

すると、2g, 4g, 8g, 16g, 32g の分銅があれば、
2g を載せてみて、分銅の方が重ければ、2g 未満だから、1g
釣り合えば、2g

軽ければ、2g より大きい。

では、4g に変えてみて、分銅の方が重ければ、2g より大きく、4gより小さいのだから、3g
釣り合えば、4g

軽ければ、4g より大きい。

では、2g を追加してみて、分銅の方が重ければ、4g より大きく、6gより小さいのだから、5g
釣り合えば、6g

軽ければ、6g より大きい。

…

のように全ての重さを測れますよね？

この考え方、合ってますか？

ありものがたり · Accepted Answer

素晴らしい！ 感動しました。
こんなありふれた問題に、その見方をしたことは無かったな。
あなたのいうとおりです。

「試料の重量は、整数gである」というあなたの仮定は、一見
この議論をするための非常に人工的な仮定にも見えますが、
普通に二進法で考える問題にも同じことが仮定されています。
そうでないと、分銅をうまく組み合わせれば天秤が資料とつりあう
という保証がありません。資料の重さが整数gであることを
利用してよいのなら、質問文中のような考え方もできるわけです。

分銅の組み合わせで 2ｇ 刻みの重さを作れるなら、
2k < x < 2k+2 となる自然数 x は 2k+1 しかない。正解です。

むらさめ · Answer

文章に書かれていない大前提が違うような気がします。
試料の質量の決定は何時行われるのか？　という点で、『天秤の問題』と、貴方で、見解の相違があると思います。

多分、『天秤の問題』では、天秤が平行位置を示した時点で質量の決定が行われることが大前提であるのに対して、貴方の方法は推理的な要素を含んでしまいます。
推論(自明でその通りではある)でしかないと指摘されるとそれまでだと感じます。

この貴方の方法は、数学で昔から問題になっていることで、
ゲーデルの不完全性定理　というのに絡んでいるように私は思えますが、浅学で非才である私にはその真偽は判りません。
↓ゲーデルの不完全性定理

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

この定理は、浅学な私には言葉遊びのような感じを受けるのですが。
貴方も良い意味で、変な歴史的な問題に気付いたと思います。

上皿天秤に対する、分銅の最小個数

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文章に書かれていない大前提が違うような気がします。

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