位相空間論 Oは、U(x)={[x,x+ε)⊂R | ε>0}をx∈Rの基本近傍系とする位相とする。

位相空間論
Oは、U(x)={[x,x+ε)⊂R | ε>0}をx∈Rの基本近傍系とする位相とする。この時、
V_1,V_2⊂RをOに関する閉集合でV_1∩V_2=(空集合)とする。V_1∩V_2=(空集合)はV_1⊂R-V_2と同値である。R-V_2∈Oなので任意のt∈V_1に対してあるε_1>0があって、[t,ε_t)⊂R-V_2となる。この時、任意のt∈V_1とs∈V_2に対して、[t,ε_t)∩[s,δ_s)=(空集合)を詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/19 19:36

Oは、U(x)={[x,x+ε)⊂R | ε>0}をx∈Rの基本近傍系とする位相とする

この時、
V_1,V_2⊂RをOに関する閉集合でV_1∩V_2=φとする

t∈V_1に対して
あるε_t>0があって
[t,t+ε_t)⊂R-V_2∈O
となる

s∈V_2に対して
あるδ_s>0があって
[s,s+δ_s)⊂R-V_1∈O
となる

[t,t+ε_t)∩[s,s+δ_s)≠φ
と仮定すると
x∈[t,t+ε_t)∩[s,s+δ_s)
となるxがある
t≦sと仮定すると
t≦s≦x<t+ε_tだから
t≦s<t+ε_tだから
s∈[t,t+ε_t)⊂R-V_2だから
s∈R-V_2となってs∈V_2に矛盾するから
s<t
s<t≦x<s+δ_sだから
s<t<s+δ_sだから
t∈[s,s+δ_s)⊂R-V_1だから
t∈R-V_1となってt∈V_1に矛盾するから
∴
[t,t+ε_t)∩[s,s+δ_s)=φ