No.2ベストアンサー
- 回答日時:
閉区間の共通部分は閉区間なので、任意の閉集合を閉区間の共通部分として表すことはできない。
(たとえば、[0,1]∪[2,3]は閉集合だけど閉区間ではない)
#1で「高々加算個の閉区間の和集合」の間違いではと書いたけど、「高々加算個の閉集合の共通部分」の間違いかも。
「高々加算個の閉集合の共通部分」だとすれば、
閉集合をAとし、その補集合をA'とすると、A'は開集合で、開集合A'の任意の点の近傍には有理数qが存在する。
A'の部分集合で、その有理数qを含む最大の開区間をA'(q)とすれば、
∪[q∈A']A'(q)=A'
qは有理数なので、A'(q)は高々加算個。
A'(q)の補集合をA(q)とすると、A(q)は閉集合で、
∩[q∈A']A(q)=A
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