非可算集合に離散距離位相を入れると有界だが、可算コンパクトではない。可算コンパクトではないことはどの

非可算集合に離散距離位相を入れると有界だが、可算コンパクトではない。可算コンパクトではないことはどのようにして示すことができますか？ヒントでも良いので教えて頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/01 21:26

N=(全自然数の集合)

Xを非可算無限集合とする
離散距離位相を入れると
離散空間になるから
Xの任意の部分集合は開集合かつ閉集合となる
Xの
可算無限部分集合
A={a_n}_{n∈N},(m≠n→a_m≠a_n)
が存在する
B_0=X-A
B_n={a_n}
とすると

X=∪_{k∈{0}∪N}B_k

だから
{B_k}_{k∈{0}∪N}
は
Xの可算無限開被覆
だけれども
任意の自然数mに対して
a_{m+1}∈X-∪_{k=0～m}B_k
となる
a_{m+1}があるから
Xを有限m+1個の{B_k}_{k=0～m}で覆う事ができないから
可算コンパクトでない

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/04 07:18