数学の問題です √3は無理数。 1/a+√3=p+q√3が成り立つとする。ただし、a,p,qは整数と

数学の問題です
√3は無理数。
1/a+√3=p+q√3が成り立つとする。ただし、a,p,qは整数とする。このときaのあたいは
この問題の答えが写真なのですがなぜb=1が出てきたのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/30 11:04

写真がありませんが、b=1 ではなく q=1 ですね。

(1/a)+√3=p+q√3が成り立つならば、
(1/a)=p, 1=q となります。
（ √3=1x√3 ですから。）
p は整数ですから a=1 のとき p=1 、
a=-1 のとき p=-1 。
従って、a=±1, p=±1, q=1 （複号同順）。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/30 10:52

1/a+√3=p+q√3が成り立つとするなら

1/aは有理数、ｐも有理数、q√3は無理数
ｐは整数なので1/aは整数　a=±１

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/29 22:42

写真とかbとか意味わからんですが、さておき。

　　1/a+√3=p+q√3
移項して
　　1/a-p = (q-1)√3
です。ところで、無理数に0以外の整数を掛け算したものは無理数。なので、この右辺は
　(1) q-1が0以外なら無理数であり、
　(2) q-1が0なら（もちろん0になり）有理数である。
しかし左辺は有理数。ということは、右辺が0になる時だけ、この等式は成り立つ。
だから、
　　q=1
だと決まります。

ゆえに元の等式は
　　1/a = p
である。さて、左辺はa=0の時には意味を持たず、|a|>1の時には整数ではなく、そして、|a|=1なら整数になる。しかし右辺は整数。ということは、左辺が整数になる時（すなわち|a|=1）の時だけ、この等式は成り立つ。