テーラー展開の根本が分かってない

Question

テーラー展開の式の変形、計算は分かるのですが、最も基本的な部分、すなわちなぜ「ｘの次数を上げればさらに精度のいい近似ができる」のかが分かりません。１次近似は点(a,f(a))での接線なわけですが、そこから2次、３次と近似していくということはどういうことなのでしょうか？

xixixi · Accepted Answer

授業で習いませんでしたか？
テーラーの定理というのは，簡単のため x = 0 では一定の条件を満たす関数f(x)に対して，
f(x) = f(0) + f'(0) x + 1/2 f''(0) x^2 + ・・・ + f^(n)(0) x^n + R_n ・・・①
が成り立つということです。ここで R_n は剰余項と呼ばれ，例えば，
R_n = 1/(n+1)! f^(n+1)(θx) x^(n+1) ( 0 < θ< 1)
と表せます。
この等式がf(x)の近似を与えるというのは，|x| が小さい場合です。
例えば，x ~ 10^(-3) (x は10^(-3)くらいの大きさという意味）なら x^2 ~ 10^(-6), x^3 ~ 10^(-9) くらいの大きさです。
長さでいえば，x がミリくらいなら，x^2 はミクロン，x^3 はナノというオーダーだということです。
n=3 とすると ①は
f(x) の値は
 f(0) + ミリオーダーの修正  f'(0) x 
＋ミクロンオーダーの修正  1/2 f''(0) x^2 
+ ナノオーダーの修正 1/6f'''(0) x^3 
+ 真の値との誤差 R_n 
で表されるということです。
例として，
f(x) = sin x  = sin 0 + cos 0 x - 1/2 sin 0 x^2 + 1/6 cos 0 x^3 + R_4
において x = 0.012 （x ~ 10^(-2) )とすると，
sin 0.012 = 0.012 - 0.012^3 / 6 + R_4 
　　　= 0.011999712 + R_4,
誤差は R_4 = sin (0.012 θ) 0.012^4 /4! < 10^(-9)
なので，sin 0.012 の値は誤差 10^(-9)以下で 0.011999712 で与えられることになります。

注意としては，テーラーの公式が近似になるのは， 一般には | x -a | が小さいときだけです。上の sin x の例で x = 100 として sin 100 の近似値として
sin 100 ~ 100 - 100^3/6  ~ - 100^3/6 
を取ることは無意味です。

yhr2 · Answer

こんな説明を読んでみてはいかがですか？
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/taylorexp/taylor1.htm

ありものがたり · Answer

ｘ の次数を上げればさらに精度のいい近似ができるのは、
n 次テイラー近似は n 次以下の多項式のなかで最も精度のいい近似だからです。
もう １ 項追加して n+1 次にすると、 n+1 次以下の多項式の中には
それまでの n 次多項式が全て含まれますから、その中で最も精度のいい近似は
n 次以下で最も精度のいい近似よりも更に高精度ということになります。

このようなことが可能な背景には、|x| がある程度小さく、
テイラー展開の第 n 項の大きさ | f^(n)(a) (x^n)/n! | は n が大きくなるほど小さくなる、
それによって微調整ができる、ということがあります。
そのため、テイラー展開には収束半径というものがあって、あまり大きな x は代入できません。
ダランベールの級数収束判定法からべき級数の収束半径を求めるくだりを
教科書で確認すると、そのへんの機微が解るのではないかと思います。

larme001 · Answer

ざっくり言うと、ある地点から微分をとった分だけx軸方向に動けばその位置からdx分だけの範囲の変化が近似できます。

ただし、これだとdxの変化量がf(a)で近似してることになるので、これを補正するためにさらに微分の微分を考える必要がある。そう言う考え方で無限級数をx軸上で取れば、理論上はあらゆる連続なf(x)の関数はf(x)の微分の無限和で表せることになるという話。無限だから、実用的にはどこかまでしか計算しないから近似になる。

世の中で色々な場面で利用されてるフーリエ変化とも関連のある話です。

世の中で色々な場面で利用されてるフーリエ変化とも関連のある話です。

stomachman · Answer

これかな → https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6465847.html

tknakamuri · Answer

そうとは限らない。
特異点を持つ関数のテーラー展開は
極簡単なものでも面白い挙動を示すよ。
1/(1-x)  とか・・・

varietyknowledge · Answer

>2次、３次と近似していくということはどういうことなのでしょうか？

次数の高い項が加減算されることで、元の関数の曲線の形状に近づくということ。

テーラー展開の根本が分かってない

授業で習いませんでしたか？

こんな説明を読んでみてはいかがですか？

ｘ の次数を上げればさらに精度のいい近似ができるのは、

ざっくり言うと、ある地点から微分をとった分だけx軸方向に動けばその位置からdx分だけの範囲の変化が近似できます。

これかな →

そうとは限らない。

>2次、３次と近似していくということはどういうことなのでしょうか？

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