テイラー展開の幾何学的意味について

テイラー展開についてどなたかご指導ください。
ある関数f(x)を多項式に当てはめてその係数を解析的に求める証明は理解できるのですが、
テイラー展開の幾何学的意味がよくわかりません。質問は以下のとおりです。

x軸上で、ある点aからh進んだ点をxとして、aからxの区間を考えます。
f(x)は以下のようにaにおける勾配f'(a)を使って以下のように近似できるのは理解できます。
f(x) = f(a) + f'(a)*h 　・・・（１）

次に、f'(a)を以下のようにf'(a)とf'(x)の平均に置き換えれば、近似精度がよくなるのも理解できます。
f'(a) → (f'(a)+f'(x))/2　・・・（２）

式（２）のf'(x)を以下のように近似して
f'(x) = f'(a) + f''(a)*h　・・・（３）
式（２）を書き直すと
f'(a) → f'(a) + f''(a)*h/2　・・・（４）
となることもわかります。

ここで式（１）のf'(a)を式（４）のものに置き換えると
f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2　・・・（５）
が得られ、テイラー展開の公式と一致しますが、これ以降がわかりません。

式（２）、式（３）、式（４）と同様に
f''(a) → (f''(a)+f''(x))/2　・・・（６）
f''(x) = f''(a) + f'''(a)*h　・・・（７）
f''(a) → f''(a) + f'''(a)*h/2　・・・（８）
として式（５）のf''(a)を式（８）のものに置き換えると
f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2 + f'''(a)*h*h*h/4　・・・（９）
となり最後の項が公式と一致しません。

公式と一致させるためには式（６）を
f''(a) → (2*f''(a)+f''(x))/3　・・・（１０）
にしなければいけません。これが引っかかっているところで、なぜ単純な平均ではなくて
２：１の重み付けをしなければならないのか理解できません。
これ以降
f'''(a) → (3*f'''(a)+f'''(x))/4　・・・（１０）
のように、xよりもaでの微係数に大きな重みを付けて平均することになると思います。
この重みが幾何学的に何を意味しているのかどなたか教えていただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2011/01/23 00:38

とても面白い解釈をなさってますが、ちょっと違う。

「→」でお書きの「置き換える」って操作をどういう意味だと考えるかです。実は平均を取ってる訳じゃありません。で、以下のような意味だと思えば話が合うんです。

ホントは
f(a+h) =　f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt
である。それを1次近似では、
f'(a+t) ≒ f'(a)
と近似する。従って、
f(a+h) ≒　f(a)+f'(a)∫{t=0～h}dt = f(a)+f'(a)h
です。

2次近似では、ホントは
f'(a+t) = f'(a)+ ∫{s=0～t}f''(a+s)ds
であるものを
f''(a+s) ≒ f''(a)
と近似する。なので
f'(a+t) ≒ f'(a)+ f''(a)∫{s=0～ｔ}ds = f'(a)+f''(a)ｔ
である。
この近似を使って
f(a+h) =　f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt
≒　f(a)+ ∫{t=0～h}(f'(a)+f''(a)ｔ)dt
= f(a)+ f'(a)h + f''(a)∫{t=0～h}ｔ dt
= f(a)+ f'(a)h + f''(a)((h^2)/2)
ここで１/2の因子が出てきたのは 関数tを積分したからです。三角形の面積に出てくる「てーへんかけるたかさわる 2」の2ですね。

3次近似ではホントは
f''(a+s) = f''(a)+ ∫{u=0～s}f'''(a+u)du
であるものを
f'''(a+u)≒f'''(a)
と近似する。なので
f''(a+s)≒ f''(a)+ f'''(a)s
これを使って
f'(a+t) ≒f'(a)+ f''(a)t + f'''(a)((t^2)/2)
さらにこれを使って
f(a+h) =　f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt
≒　f(a)+ f'(a)h+ f''(a)((h^2)/2) + f'''(a)((h^3)/6)
って具合です。1/6 の因子は、関数((t^2)/2)を積分した結果出てきた。放物線の曲線下面積です。

　簡単な例、たとえば多項式
f(x) = A[0]+A[1]x+A[2](x^2)+A[3](x^3)+A[4](x^4)
のテイラー展開を丁寧に正直に計算して、その途中結果の式をグラフにしてみたりしながらお考えになれば、さらに見通しが良くなるかも知れません。