No.1
- 回答日時:
今自分もフーリエ級数について勉強していますが、あまり深く考えないほうが良い
と思います。とりあえず、f(x)が奇関数であるか、偶関数であるかをかんがえます。f(x)が、連続,不連続に関わらず、定義として、原点対称であれば奇関数、y軸に線対称であれば偶関数である。
例えば、明らかに不連続な次のような関数
f(x)=1/2 (|x|<=π/2),=-1/2(π/2<|x|<=π)
は、偶関数である。
(分かりにくかったら、図に書いてみてください。)
このぐらいしか言えませんが、お役にたてれば幸いです.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
質問の意図がもうひとつよく分からないのですが,
f(x) が連続関数でないとわからなくなる,ということでしょうか.
[-π,π] の範囲を考えるとして
f(x) のフーリエ級数は
(1) f(x) ~ (a_0/2) + a_1 cos x + a_2 cos 2x + ...
+ b_1 sin x + b_2 sin 2x + ...
で
(=でなく~になっているのは,右辺が収束しない場合もあるし,
収束しても f(x) にならない場合もあるからです)
(2) a_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) cos nx dx
(3) b_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) sin nx dx
ですね.
pythian さんの 2/T(∫f(x)sin(nωt)dt は少し記号が混乱しているようです.
さて,f(x) が f(x) = x ならわかるが,たとえば
(4) f(x) = -x (-π < x < 0)
x (0 < x < π)
だとわからないということですか?
(4)は偶関数ですから,b_n は全部ゼロです.
a_n の方は積分を分ければOKです.
(5) a_n = (1/π) [ ∫_{-π}^0 (-x) cos nx dx + ∫_0^π x cos nx dx ]
関数形が変わったら,そこで積分を分けて計算すればOKです.
積分で面積を求めるときもそうしていますよね.
この回答への補足
丁寧なお答えありがとうございます。
なるほど、普通に積分の区間を分けるだけでいいんですね。
一つ確認したいのですが、フーリエ級数とはAnとBnを指すのでしょうか。それで、隅関数のときはAn、奇関数のときはBnを出せば良いんですよね?(^_^;?
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