制御工学の質問です 次の複素数の絶対値と偏角を求める解説をお願いします (1) 1+j (2) -1

制御工学の質問です
次の複素数の絶対値と偏角を求める解説をお願いします

(1) 1+j

(2) -1-j

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/23 13:05

「制御工学」は関係ないです。

高校数学で学ぶ複素数の問題です。
（高校数学では「j」を「i」と表記することが多いです）

a, b を実数として、複素数 z を

z = a + jb = r(cosθ + j･sinθ)

と表記したときの
・r (≧0) が絶対値
　　r = √(a^2 + b^2)
・θ (0≦θ<2パイ) が偏角
　　tanθ = b/a
　　cosθ = a/√(a^2 + b^2)
　　sinθ = b/√(a^2 + b^2)
です。

(1) 1 + j = √2 [(1/√2) + j(1/√2)] = √2 [cos(パイ/4) + j･sin(パイ/4)]
よって
　絶対値：√2、偏角：パイ/4

(2) -1 - j = √2 [-(1/√2) - j(1/√2)] = √2 {cos[(5/4)パイ] + j･sin[(5/4)パイ]}
よって
　絶対値：√2、偏角：(5/4)パイ

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/23 12:52

複素数平面上に　1+j=1+j1の座標をプロットしてやれば簡単に理解できます

複素数平面の実軸（実数軸）をx
虚軸(虚数軸)をｙとすれば
1+j1の座標は(x,y)=(1,1)
これと点(0,0)を結んで
この2点の長さを求めれば
複素数の絶対値＝2点間の距離です
ゆえに　2点間の距離の公式や三平方の定理などで
|1+j|=√(1²+1²)=√2　これが(1)の絶対値です
この線分は右斜め上に45°で上がっていくことがわかるので
偏角は　反時計回りに実軸（x軸）の正方向から2点を結ぶ線分までの角度をθとして
偏角＝θ=45°=π/4　となります

これを理解していただくと
複素数z=a+biに対して
絶対値=r=√(a²+b²)
偏角=argz=θ
とおくとき
z=(a+bi)=r(cosθ+isinθ) という関係にあるので
これを満たす偏角θが　計算または複素数平面の図から求められます。

(2)も同様にできます

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/23 12:42

(1)z=1+i , |z|=√１＋１＝√２　、　cosθ＝1/√２,　sinθ＝1/√２ θ=π/4

(2)z'=-1-i , |z'|=√１＋１＝√２、　cosθ＝-1/√２,　sinθ＝-1/√２ θ=3π/4