ミクロ経済のゲーム問題です。詳しい方ご教授お願いします。

一度、質問しましたが再びわからないことが出てきましたのでご教授お願いします。
二人のプレイヤーA,Bによる同時手番ゲームを考える。二人の戦略空間は等しく、Si=[0,a],(i=A,B)で与えられる。プレイヤーiが戦略(sA,sB)から得られる利得を

ui(sA,sB)={a-sj｝ if si>sj
={(1/2)a-(1/2)sj｝ if si=sj
={0 ｝if si<sj
とする。ここでaは正の実数とする。
以下の問いに答えなさい。。
１)支配戦略均衡は存在するかどうか答えなさい。存在する場合は支配戦略均衡を全て求めなさい。また存在しない場合は理由を説明しなさい。
この場合、答えは(a,a) でした。

支配戦略は他のプレイヤーの戦略にかかわらず、自分の戦略の中で他の戦略を取るより
良いという戦略でした。
この場合
i=A,j=Bとします。
ｓi=sjの時に、Aの利得は(1/2)a-(1/2)sjなので
ｓjの値が小さい方が良いのでsi=sjよりsiも低い値の方が良いのではないのでしょうか？
こう考えると何が支配戦略になるのかわかりません。

この考えはどこが駄目なのでしょうか？

ご教授お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/11/02 07:37

まだ納得しませんか？もう一度説明してみましょう。

あなたはA、相手はBとしましょう。Aの立場から考える。相手がどんな戦略を選ぼうと、Aはある戦略を選べば、別の戦略を選ぶより、より大きな（少なくとも別の戦略と同じ）利得がえられるとき、その「ある戦略」を支配戦略という。
いま、相手Bが戦略sB<aを選んだとする。このとき、あなたAはsA=aを選べば、利得はa-sB>0の利得を得て自分の利得を最大化することができる。かりに、相手と同じ戦略を選ぶことができるとして、sA=sBを選んだとしても、その場合のあなたの利得は(1/2)(a-sB)<a-sBとなり、sA=aを選ぶより小さい利得しか得られない。（もちろん、sAをsA<sBと、sBより小さい戦略を選べるとしても、利得はゼロで、論外。）相手がsB=aを選んだとしたら、このときはあなたが何をaを選ぼうがそれ以外の戦略を選ぼうが、あなたの利得は０で同じ、したがって、sA=aは相手がどんな戦略を選んでも、あなたの利得を最大化する戦略といえる。
以上から、aはあなたにとって支配戦略なのです。もちろん、まったく同じ議論が相手Bにも当てはまるので、aはBにとっても支配戦略。
支配戦略が存在するときは、各プレイヤーは支配戦略を選択するので、このゲームのナッシュ均衡は(a,a)と、支配戦略均衡となる。

この回答へのお礼

支配戦略が相手プレイヤーの戦略は所与として考えることを
完全に忘れていました。
丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2020/11/02 21:04

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/11/01 04:35

>i=A,j=Bとします。

ｓi=sjの時に、Aの利得は(1/2)a-(1/2)sjなので
ｓjの値が小さい方が良いのでsi=sjよりsiも低い値の方が良いのではないのでしょうか？

Aにとって支配戦略は何でしょう⇒aです。
Bにとって支配戦略は何でしょう⇒aです。
ここまでよろしいか？よろしかったら、支配戦略（ナッシュ）均衡は
(a,a)となる。支配戦略均衡はただ一つ、この組しかない。ピリオド。

あなたの疑問は何なんでしょうか？各プレイヤーAとBにとって支配戦略はaであることに疑問があるのでしょうか？それとも、支配戦略均衡が(a,a)であることに疑問があるのでしょうか？２つは別問題ですが、前者のほうが基本的です。前者が正しいなら、後者は「自動的」に導かれるからです。

Aにとって戦略aが支配戦略であることを確かめておきましよう。Bがどんな戦略を選ぼうが、Aは戦略aを選べば、ほかの戦略を選ぶよりAの利得が大きくなるか、少なくとも同じになることはお分かりでしょうか？sA=aならば、Aの利得は、Bの戦略がsB<aならば、(1/2)(a-sB)>0であるし、Bの戦略がsB=aならば、０である。よって、Aはほかの戦略sA<aを選ぶより大きな（すくなくとも同じ）利得を得ることになる。ここまで、よろしいか？Bにとっても、同様。Bは戦略aを選ぶときほかの戦略sB<aを選ぶより大きい（少なくとも同じ）利得を得る。よって、Aにとっても、Bにとっても戦略aは支配戦略なのです。支配戦略はどちらのプレイヤーにとってもa以外ない！よって、支配戦略均衡は(a,a)となる。

あなたは、「ｓi=sjの時に、Aの利得は(1/2)a-(1/2)sjなので
ｓjの値が小さい方が良いのでsi=sjよりsiも低い値の方が良いのではないのでしょうか？」と書いているが、意味がわからない！プレイヤーiにとってはsjは相手の戦略であって、選択できない。プレイヤーiが選べるのはsiだけです。相手の戦略は自分にとってはあくまでも所与、つまり、動かすことのできない存在なのです。