単振動の問題に関する質問です。

添付画像の(2)についてなんですが、この参考書ではエネルギー保存則を用いて解いていまして、振幅A=√[(m/k)•{v0^2+(mg^2/k)•sin^2θ}]となっていたのですが、運動方程式(微分方程式)を解いて振幅を求めても答えが出ると思ったので、微分方程式を解く方法でやってみたのですが答えが合わなかったのでご教授いただきたいです。

以下自分の解法

運動方程式より、

ma=-kx（つり合いの位置を原点とする）

微分方程式を解いて、

x=C1sinωt+C2cosωt, v=C1ωcosωt-C2ωsinωt (ω= √(k/m))

初期条件x(0)=0, v(0)=v0より、

x=(v0/ω)• sinωt, v=v0cosωt

よって、

振幅A=v0/ω=v0 √(m/k)（≠ √[(m/k)•{v0^2+(mg^2/k)•sin^2θ}]）

と考えたのですが、どこがまずい（間違っている）でしょうか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/11 17:36

＞初期条件x(0)=0, v(0)=v0より、

>x=(v0/ω)• sinωt, v=v0cosωt

自然長は振動中心じゃない。もう少し下。
x(0)=-mgsinθ/k、 v(0)=v0

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/11 12:39

No.1 です。

＞初期条件x(0)=0, v(0)=v0より、

にはならず、「ばねの自然長で初速 v0 を与えたとき」を t=0 とすれば
　x(0) = 0
ではありません。

斜面上での「ばねのつり合い位置」のときの「ばねの伸び」を x0 とすれば
　mg*sinθ = k*x0
→　x0 = (mg*sinθ)/k
ですから、
　x(0) = -x0 = -(mg*sinθ)/k

こういった初期条件で微分方程式を解くよりも、エネルギー保存則を使った方が簡単でしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/11 11:59

ああ、前の質問の画像ってこれね？

だったら、前の質問の「補足」か何かにあげるべきでしょう。
他人の著作物の無断転載だから、すぐに削除されると思うけど。

質問に関しては、前提条件を間違えています。
初速 v0 を与えたのは、「斜面上でのつり合い位置（単振動の中心）」ではなくて、「ばねの自然長」の位置ですから。

従って、単振動を
「x=C1sinωt+C2cosωt」
と表わしたのなら

＞初期条件x(0)=0, v(0)=v0より、

にはなりません。