点と直線の距離の最大値

直線l: mx+y+m−3=0と点A（0、−1）の距離の最大値を求める場合、Aから直線lに下ろした垂線の足をHとして、HとPが一致する時(AP⊥lとなる時)に最大値になるのはなぜですか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/28 19:55

直線 l 上の点 P と点 A の距離は、

A から l に下ろした垂線の足を H として
H と P が一致するとき「最小値」になりますよね。

P は l 上いくらでも遠くに置けるので、
距離の最大値は存在しません。

l 上の1点 B と l の方向ベクトル →v を置けば
ｌ は →OP = →OB + t(→v) と媒介変数表示できるので、
｜→AP｜² = ｜→OP - →OA｜²
　　　　= ｜→OB + t(→v) - →OA｜²
　　　　= (t(→v) - →AB)・(t(→v) - →AB)
　　　　= (t^2)(→v)・(→v) - 2t(→v)・(→AB) + (→AB)・(→AB).
これが t について最小値をとるのは、
(d/dt)｜→AP｜² = 2t(→v)・(→v) - 2(→v)・(→AB)
　　　　　　　= 2(→v)・(t(→v) - →AB)
　　　　　　　= 2(→v)・(→AP)
の値が =0 のとき。
(→v)・(→AP) = 0 は、 ｌ⊥AP ということですね。

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2021/05/28 18:05

距離の最大値ではないから。

距離の最大値は、直線と平行になる線上にあるわけだから、
∞……だよね。

設問をもう一度読み直してみましょう。
ゼッタイに何か勘違いしているはずだ。